2000　静岡大学　後期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$に対して，$d=ps-qr\text{，}$$t=p+s$とおく．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列であり，$A=kE$となる実数$k$は存在しないものとする．

(1)　$A^2=tA-dE$となることを示せ．

(2)　$A^n=a_{n}A+b_{n}E$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$d\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$のとき，$A^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【２】　$\alpha$を複素数とする．複素数平面上で$3$点${\alpha }^2\text{，}$${\alpha }^4\text{，}$${\alpha }^6$は正三角形の頂点になっている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を求めよ．

(2)　この正三角形を原点を中心にして時計まわりに$90\mathrm{°}$回転させて得られた三角形の$3$頂点が表す複素数を求めよ．

【３】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$\mathrm{\angle POQ}=90\mathrm{°}$を満たしながら動くとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{OP}}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{OQ}}^2}}$の値は一定であることを示せ．

(2)　$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さは一定であることを示せ．

【４】　$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$について，次の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 1$における$|f(x)|$の最大値$M(a)$を求めよ．

(2)　関数$M(a)$の増減を調べて，$M(a)$が最小となるような$a$の値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x\sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)　第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}}=f^{″}(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2n\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．