2000　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$xy$平面上で，直線$l:y=ax+b$は曲線$C:y=(x+1)(2-x)$と，$x$座標が$0\leqq x\leqq 2$を満たす点で接しているとする．

1)　このときの点$(a,b)$の存在範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

2)　曲線$C$および$3$つの直線$l\text{，}x=0\text{，}x=2$で囲まれた図形の面積を最小にする$a\text{，}b$の値と，このときの面積を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して，不等式$0\leqq a\leqq 2b\leqq c\leqq n$を満たす整数の組$(a,b,c)$の個数を$P\left(n\right)$とする．

1)　$P\left(5\right)$を求めよ．

2)　奇数$n$に対して，$P\left(n\right)$を求めよ．

【３】(a)　座標空間内に$4$点$\mathrm{P}(3,1,4)\text{，}\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(1,1,2)\text{，}\mathrm{C}(2,1,1)$がある．直線$\mathrm{PA}$と$xy$平面の交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{PB}$と$xy$平面の交点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{PC}$と平面の交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

2)　$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積を求めよ．

【３】(b)　複素数平面上に，図のような原点を中心とする正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．ここで，頂点$\mathrm{A}$が表す複素数は$1$である．$2$頂点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の中点を$\mathrm{F}$とし，点$\mathrm{F}$が表す複素数を$h$とする．

1)　$h$が$4h^2+2h-1=0$を満たすことを示せ．

2)　$h$を求めよ．

【３】(b)　座標平面上に，双曲線$C:x^2-y^2=1$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．点$\mathrm{A}$を通る直線$l$が双曲線$C$と相異なる$2$点で交わるとき，この$2$交点の中点$\mathrm{P}$は曲線${(x-1)}^2-y^2=1$上にあることを証明せよ．

【１】　座標平面上に，双曲線$C:x^2-y^2=1$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．

1)　点$\mathrm{A}$を通り双曲線$C$と$1$点のみで交わる直線を求めよ．

2)　直線$l$が点$\mathrm{A}$を通り双曲線$C$と相異なる$2$点で交わるように動くとき，この$2$点の中点は，あるひとつの双曲線上にあることを示せ．

【２】　この問題では，$e$は自然対数の底，$\log$は自然対数を表す．

　実数$a\text{，}b$に対して，直線$l:y=ax+b$は曲線$C:y=\log (x+1)$と，$x$座標が$0\leqq x\leqq e-1$を満たす点で接しているとする．

1)　このときの点$(a,b)$の存在範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

2)　曲線$C$および$3$つの直線$l\text{，}x=0\text{，}x=e-1$で囲まれた図形の面積を最小にする$a\text{，}b$の値と，このときの面積を求めよ．

【３】　図のように，平面上に点${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots$および${\mathrm{B}}_0\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots$が並んでいる。点$\mathrm{P}$は${\mathrm{A}}_0$から出発し，次の規則に従いこれらの点の上を移動する．

$\mathrm{P}$が${\mathrm{A}}_n$にいるときには$1$秒後に${\mathrm{A}}_{n+1}$または${\mathrm{B}}_n$に，一方${\mathrm{B}}_n$にいるときには${\mathrm{B}}_{n+1}$または${\mathrm{A}}_n$に移動する．ただし，前にいた点には戻らない．また，$\mathrm{P}$が移動しうる点が複数あるときには，それぞれの点へ等確率で移動する．

　$\mathrm{P}$が${\mathrm{A}}_n$へ到る行き方が$a_n$通り，${\mathrm{B}}_n$へ到る行き方が$b_n$通りあるとする．

1)　$a_2\text{，}{b}_2$を求めよ．

2)　$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

3)　一方，点$\mathrm{Q}$は${\mathrm{A}}_8$から$\mathrm{P}$と同時に出発し，$1$秒ごとに順次${\mathrm{A}}_8\to {\mathrm{A}}_7\to {\mathrm{A}}_6\to \cdots \to {\mathrm{A}}_0$と移動し，その後は${\mathrm{A}}_0$にとどまる．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が出会う確率を求めよ．

【４】(a)　座標空間内の$6$つの平面$x=0\text{，}x=1\text{，}y=0\text{，}y=1\text{，}z=0\text{，}z=1$で囲まれた立方体を$C$とする．$\overrightarrow{l}=(-a_1,-a_2,-a_3)$を$a_1>0\text{，}{a}_2>0\text{，}{a}_3>0$を満たし，大きさが$1$のベクトルとする．$H$を原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$\overrightarrow{l}$に垂直な平面とする．

　このとき，ベクトル$\overrightarrow{l}$を進行方向にもつ光線により平面$H$に生じる立方体$C$の影の面積を，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を用いて表せ．ここに，$C$の影とは$C$内の点から平面$H$へひいた垂線の足全体のなす図形である．

【４】(b)　実数を係数とする$3$次方程式

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

は，相異なる虚数解$\alpha \text{，}\beta$と実数解$\gamma$をもつとする．

1)　$\beta =\bar{\alpha }$が成り立つことを証明せよ．ここで，$\bar{\alpha }$は$\alpha$と共役な複素数を表す．

2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が等式$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3$を満たし，さらに複素数平面上で$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を表す$3$点は一辺の長さが$\sqrt{3}$の正三角形をなすものとする．このとき，実数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．