2000　京都大学　前期MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABPC}$は次の条件（イ)，（ロ)を満たすとする．

(イ)　三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形である．

(ロ)　$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BC}$の交点は線分$\mathrm{BC}$を$p:1-p\text{（}0<p<1\text{）}$の比に内分する．

　このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}p$を用いて表せ．

【２】　実数$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{（}n\geqq 3\text{）}$が条件

$x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0\text{（}2\leqq k\leqq n-1\text{）}$

を満たすとし，$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$の最小値を$m$とする．このとき，$x_l=m$となる$l\text{（}1\leqq l\leqq n\text{）}$の個数は$1$または$2$であることを示せ．

【３】　$\overrightarrow{a}=(1,0,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(\cos 60°,\sin 60°,0)$とする．

(1)　長さ$1$の空間ベクトル$\overrightarrow{c}$に対し

$\cos \alpha =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\cos \beta =\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

とおく．このとき次の不等式(＊)が成り立つことを示せ．

(＊)　${\cos }^2\alpha -\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$

(2)　不等式(＊)を満たす$(\alpha ,\beta )\text{（}0°\alpha \leqq 180°\text{，}0°\leqq \beta \leqq 180°\text{）}$の範囲を図示せよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．この三角形$\mathrm{ABC}$は次の条件(イ)，(ロ)，(ハ)を満たすとする．

　このとき次の問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$を大きさの順に並べよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【５】　$a$を実数とする．$x$の$2$次方程式

$x^2-ax=2{\displaystyle {\int }_0^1}|t^2-at|dt$

は$0\leqq x\leqq 1$の範囲にいくつの解をもつか．

【２】　実数$a$は$0<a\leqq 2$の範囲を動くものとする．

(1)　$y=\sqrt{x}$と$y={\displaystyle \frac{2}{a}}x+1-{\displaystyle \frac{1}{a}}$のグラフが共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$2$次方程式${(2x+a-1)}^2=a^{2}x$の複素数の範囲で考えた$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$（ただし$|\alpha |\leqq |\beta |$）とする．このとき，$|\beta |$の最小値を求めよ．

【４】　$p$を素数，$a\text{，}b$を互いに素な正の整数とするとき，${(a+bi)}^p$は実数ではないことを示せ．ただし$i$は虚数単位を表す．

【５】　数列$\{c_n\}$を次の式で定める．

$c_n=(n+1){\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n\cos \pi xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき

(1)　$c_n$と$c_{n+2}$の関係を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた極限値を$c$とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{c_{n+1}-c}{c_n-c}}$

を求めよ．

【６】　$n\text{，}k$は整数で，$n\geqq 2\text{，}0\leqq k\leqq 4$とする．サイコロを$n$回投げて出た目の和を$5$で割ったときの余りが$k$に等しくなる確率を$p_n(k)$とする．

(1)　$p_{n+1}(0)\text{，}\cdots \text{，}{p}_{n+1}(4)$を$p_n(0)\text{，}\cdots \text{，}{p}_n(4)$を用いて表せ．

(2)　$p_n(0)\text{，}\cdots \text{，}{p}_n(4)$の最大値を$M_n\text{，}$最小値を$m_n$とするとき次の(イ)，(ロ)が成立することを示せ．

(イ)　$m_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}\leqq M_n$．

(ロ)　任意の$k\text{，}l\text{（}0\leqq k\text{，}l\leqq 4\text{）}$に対し$p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)\leqq {\displaystyle \frac{1}{6}}(M_n-m_n)$．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(k)$を求めよ．