2000　広島大学　前期

【１】　複素数平面上に，$3$点$\mathrm{A}(-2i)\text{，}\mathrm{B}(1-i)\text{，}\mathrm{C}(-1+3i)$と，点$\mathrm{D}(1+i)$を中心とする半径$1$の円$K$がある．点$\mathrm{P}(z)$は$K$の周上にあり，点$\mathrm{Q}(w)$は，三角形$\mathrm{APQ}$と三角形$\mathrm{ABC}$が同じ向きに相似になる点とする（すなわち，$\mathrm{AP}:\mathrm{AQ}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$で，$\mathrm{AP}$から$\mathrm{AQ}$に反時計まわりに測った角が，$\mathrm{AB}$から$\mathrm{AC}$に反時計まわりに測った角に等しい）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$w$を$z$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$K$の周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A$は，次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(a)　$A$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A\ne E$である．

(b)　$A^2$は$A\text{，}{A}^{-1}\text{，}E$のいずれかに等しい．

(c)　$A\ne A^{-1}$

　次の問いに答えよ．

(1)　条件(a)を用いて，$A\ne A^2$を示せ．

(2)　$A^2=A^{-1}$を示せ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ 1& q\end{array}\right)$のとき，$p\text{，}q$の値を定めよ．ただし，$p\text{，}q$は実数とする．

【３】　$1$から$100$までの自然数が$1$つずつ書いてある$100$枚のカードと，$1$から$100$までの番号が$1$つずつついている$100$個の箱がある．$100$のカードをまず$1$番の箱に入れ，次に$99\text{，}98$のカード$2$枚を$2$番の箱に入れ，さらに，$97\text{，}96\text{，}95$のカード$3$枚を$3$番の箱に入れる．以下，この操作を続けて，$k$番の箱に$k$枚のカードを数の大きい方から順に入れていく．ただし，$1$のカードを入れた段階でこの操作は終了するものとする．したがって，$1$のカードの入っている箱には箱の番号と同じ枚数のカードが入っていない可能性がある．$1$のカードが入っている箱の番号を$N$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$N$の値を求めよ．また，$N$番の箱には何枚のカードが入っているか．

(2)　$k$番（$0\leqq k\leqq N$）の箱において，その箱の中のカードに書かれている最大の数を$k$の式で表せ．

(3)　$k$番（$1\leqq k\leqq N$）の箱の中のカードに書かれている数の合計を$S_k$とする．$1\leqq k\leqq N-1$のとき，$S_k$を$k$の式で表せ．また，$1\leqq k\leqq N$のとき，$S_k$の最大値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=(x+2)e^{\frac{1}{x}}\text{（}x\ne 0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$y=f(x)\text{（}x\ne 0\text{）}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

(2)　右側からの極限値$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{3-f(x)}{1+2f(x)}}$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{3-f(x)}{1+2f(x)}}$は存在するか．存在するならばその値を求め，存在しないならばその理由をいえ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}d\theta$を求めよ．

(2)　媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{l}x(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}(1+\tan u)du\\ y(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}(1-\tan u)du\end{array}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で表される曲線の長さを求めよ．

【６】　$1$つのさいころを$n$回投げる試行において，出た目がすべて奇数で，かつ$1$つの目がちょうど$k$回（$0\leqq k\leqq n$）出る確率を$p_k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，$p_1$を求めよ．

(2)　$p_k\text{（}0\leqq k\leqq n\text{）}$を$n$と$k$の式で表せ．また，出た目がすべて奇数で，かつ$1$の目が少なくとも$1$回出る確率$q$を求めよ．

(3)　$n=3m+2$（$m$は自然数）とする．$0\leqq k\leqq n-1$のとき，${\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}}\leqq 1$となる$k$の範囲を求めよ．さらに，$0\leqq k\leqq n$のとき，$p_n$が最大となる$k$を求めよ．