2000　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$は正の数とする．次の不等式

${\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\geqq {\displaystyle \frac{3abc}{ab+bc+ca}}$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a\text{，}b\text{，}c$がどのような関係をみたすときか述べよ．

【２】

(1)　次の式を完成せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k\cdot 2^{k+2})=(n-\boxed{\text{ア}})\times 2^{n+\boxed{\text{イ}}}+\boxed{\text{ウ}}$

【２】

(2)　$\cos 3\theta +i\sin 3\theta$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．

【２】

(3)　$x$の整式$x^3+a{x}^2+2x+b-3$をある整式$P(x)$で割ると，商が$x-1\text{，}$余りが$x-2$である．その$P(x)$を$x-2$で割ると，余りは$-ab$である．このとき，$a\text{，}b$のとりうる値を求めよ．

$a=-\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$または$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}b=-\boxed{\text{サ}}$

【３】　$f(x)$は$3$次式，$g(x)$は$2$次式とする．$xy$平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$は点$\mathrm{P}(1,0)$で交わり，点$\mathrm{P}$において$C_1$の接線と$C_2$の接線は互いに直交している．また，$f(x)\text{，}g(x)$は次の関係をみたすものとする．

(ⅰ)　$f(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}{g}^{\prime }(t)dt=-x^3+a{x}^2-bx$

(ⅱ)　$f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=3a{x}^3-15x^2+5ax-2b$

　このとき，

(1)　$a\text{，}b$を求めると$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．

$f(x)=-\boxed{\text{ウ}}{x}^3+\boxed{\text{エ}}{x}^2-\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

$g(x)=-\boxed{\text{キ}}{x}^2+\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}$

(3)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めると${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【４】　$\alpha$は$0<\alpha <90$をみたす整数とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の単位円周上に点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$をとり，以下，$\angle \mathrm{O}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}$が$\alpha$度となるように円周上の点列$\{{\mathrm{P}}_k(x_k,y_k)\}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{）}$を右の図のように定める．このとき，${\mathrm{P}}_n={\mathrm{P}}_0$となる最小の正整数$n$を$n(\alpha )$で表わす．ただし，角度の符号は時計の針の回転と逆向きを正とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n(\alpha )=18$とする．このとき，$\alpha$の取りうる値を小さい順に述べよ．

$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}$

(2)　$n(\alpha )$を素数とする．このとき，$n(\alpha )$が取りうる値を小さい順に述べよ．

$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$

(3)　$\alpha =15$とする．このとき，$n(15)$は$\boxed{\text{カ}}$であり，${\mathrm{P}}_k(x_k,y_k)$を複素数平面上で考えると

$x_{k+1}+i{y}_{k+1}=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}-i{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}})(x_k+i{y}_k)$

である．特に，点${\mathrm{P}}_0$の座標が$(x_0,y_0)=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$のとき，${\mathrm{P}}_{128}$の座標は，

$(x_{128},y_{128})=({\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}})$

となる．