2000　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】　$P_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$を$n$次式とし，

${\displaystyle {\int }_0^1}{P}_2(x)dx=a$

$P_n(1)=1\text{，}{P}_n(-1)={(-1)}^n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$

を満たすとする．ただし，$0$次式は定数である．このとき

$P_0(x)=\boxed{\text{ア}}$

$P_1(x)=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}x$

である．また$P_2(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a=\boxed{\text{エ}}$となり，

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|P_1(x)+P_2(x)|dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【２】

(1)　自然数から自然数への関数$f$を次の性質を満たすように定める．

$\{\begin{array}{ll}f(1)=1& \\ f(2n)=f(n)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ f(2n+1)=f(n)+1& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

このとき，$f(1000)=\boxed{\text{ア}}$であり，$f(1)\text{，}f(2)\text{，}\cdots \text{，}f(1000)$の中で最も大きな数は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$f(1)\text{，}f(2)\text{，}\cdots \text{，}f(1000)$の中でその値が$5$となるものは$\boxed{\text{ウ}}$個ある．

【２】

(2)　円周上に$1$から$16$までの$16$個の数字を任意に並べる．連続して並べられた$3$個の数字の和を$3$連続和と呼ぶことにする．このとき，$3$連続和のすべての和は$\boxed{\text{エ}}$である．ここで$N$を自然数とし

命題$\mathrm{P}$「どのような並べ方であっても，ある$3$連続和は$N$以上となる」

を考えた．もし$M$を自然数とし

命題$\mathrm{Q}$「ある並べ方において，すべての$3$連続和は$M$未満となる」

を仮定すると，$3$連続和のすべての和は$\boxed{\text{オ}}\times M$未満となる．よって$M$の最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．以上の議論から$N$が$\boxed{\text{キ}}$以下のとき命題$\mathrm{P}$が成り立つことが分かる．

【３-１】　コインを投げ表が出れば$1\text{，}$裏が出れば$0$を記し，$n$回投げて得られる数列を$n$試行列とよぶ．たとえば，$4$試行列として$0101\text{．}1101\text{，}$などが考えられる．一つの$n$試行列において，$k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$回までに表の出た回数を$s(k)$と書き，その$n$試行列に対応する複素数$z$を

$z=i^{s(1)}+i^{s(2)}+\cdots +i^{s(n)}$

と定義する．ここで，$i$は虚数単位（$i^2=-1$）である．たとえば，$4$試行列$0101$の場合，

$i^{s(1)}=1$

$i^{s(1)}+i^{s(2)}=1+i$

$i^{s(1)}+i^{s(2)}+i^{s(3)}=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}i$

$z=\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}i$

となる．

　$n$試行列に対応する複素数$z$が$0$となる確率$p(n)$に関してつぎの問いに答えなさい．

1)　はじめて$p(n)\ne 0$となるのは$n=\boxed{\text{カ}}$のときであり，このとき，

$p(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

2)　つぎに$p(n)\ne 0$となるのは$n=\boxed{\text{ケ}}$のときであり，このとき，

$p(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{2^n}}$

である．

【３-２】　以下の空欄に適切な解答を，最後の選択肢から選び，その番号を解答欄に記入しなさい．

　あなたはある店の店主です．買い物をした客にお釣りを渡すとき，$50$円玉，$10$円玉，$5$円玉，$1$円玉の総枚数をできるだけ少なく渡すようにします．そのためには，お釣りの金額から$50$円，$10$円，$5$円，$1$円をこの順に引けるだけ引いていけば良いことが分かります．たとえば，お釣りが$78$円のとき，

$78-50=28$

$28-10-10=8$

$8=5=3$

$3-1-1-1=0$

ですから，$50$円玉を$1$枚，$10$円玉を$2$枚，$5$円玉を$1$枚，$1$円玉を$3$枚渡せばよいことになります．

　次のプログラムはお釣り$X$円が$100$円未満のとき，上述の規則に従ってお釣りを渡すときの各硬貨の枚数を求めるものです．

• 100 REM 100 円未満のお釣りで渡す硬貨の枚数の計算
• 110 REM 50 円玉 K 枚，10 円玉 L 枚，5 円玉 M 枚，1 円玉 N 枚
• 120 K = 0: L = 0: M = 0: N = 0
• 130 INPUT "X = "; X
• 140 IF X < $\boxed{\text{サ}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{シ}}$
• 150 K = K + 1: X = X - $\boxed{\text{ス}}$
• 160 IF X < $\boxed{\text{セ}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{ソ}}$
• 170 L = L + 1: X = X - 10
• 180 GOTO 160
• 190 IF X < 5 THEN GOTO $\boxed{\text{タ}}$
• 200 M = M + 1: X = X - $\boxed{\text{チ}}$
• 210 IF X < 1 THEN GOTO $\boxed{\text{ツ}}$
• 220 N = N + 1: X = X - 1
• 230 GOTO 210
• 240 PRINT "50 円玉は "; K;" 枚 10 円玉は "; L;" 枚 "
• 250 PRINT "5 円玉は "; M;" 枚 1 円玉は "; N;" 枚 "
• 260 END

選択肢

• (11)　110
• (12)　120
• (13)　130
• (14)　140
• (15)　150
• (16)　160
• (17)　170
• (18)　180
• (19)　190
• (20)　200
• (21)　210
• (22)　220
• (23)　230
• (24)　240
• (25)　250
• (26)　1
• (27)　5
• (28)　10
• (29)　50
• (30)　100

【４】　$4$人の委員$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$からなる委員会があり，案件を投票で決定する．$a$と$b$は$1$票，$c$は$2$票，$d$は$3$票を持ち，各委員は案件に賛成であれば持っている票のすべてを投票し，案件は総数$5$票以上で決定される．投票の順番は$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を左から右に書き並べ，$x_1{x}_2{x}_3{x}_4$と書かれる．たとえば，$cdab\text{，}dabc$などである．このとき，自分より前の投票者がすべて賛成し，案件の決定が自分の投票の賛成によって決まるとき，「決定権を持つ」という．たとえば，$x_1{x}_2$の賛成だけでは案を通すことができず，$x_1{x}_2{x}_3$の賛成ではじめて案が通る場合，$x_3$が決定権を持つことになる．$cdab$の順番で投票を行えば，$d$が決定権を持っている．

　ここで$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の並べ方をすべて考え，各委員が決定権を持つ場合の割合を，その委員の「決定力」ということにする．各委員$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のそれぞれの決定力は

$a:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{12}}\text{，}b:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{12}}\text{，}c:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{12}}\text{，}d:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{12}}$

である．

【５】　ある商品を$x$個生産するのにかかる費用を$C(x)\text{，}$それをすべて販売したときの収入を$I(x)$とすれば，そのときの利益$P(x)$は

$P(x)=I(x)-C(x)$

である．いま，$C(x)$と$I(x)$が次の関係式を満たしているとする．

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{C(x)}{x}}=50+{(x-20)}^2\\ I^{\prime }(x)=350-x\end{array}$

ただし，$I^{\prime }(x)$は$I(x)$の導関数である．

　収入は区間$0<x<\boxed{\text{ア}}$で増加するが，最大利益をあげるためには，$x$を$\boxed{\text{イ}}$とすれば良い．このときの収益は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{2}}$である．