2000　上智大学　文，法学部MathJax

【１】(1)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$で$\angle \mathrm{A}=36°$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{BCD}$は相似なので，

$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}:1\text{，}\cos 36°={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}+\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(2)　一辺の長さが$2\sqrt{5}$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．また，正五角形$\mathrm{ABCDE}$の外接円の面積は$(\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}})\pi$であり，内接円の面積は$(\boxed{\text{ス}}+\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}})\pi$である．

【２】(1)　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が$f(1)=1\text{，}f(-1)=-1\text{，}f(2)=2$をみたすなら，$b\text{，}c\text{，}d$は$a$によって$b=\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}\text{，}c=\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}}\text{，}d=\boxed{\text{ト}}a+\boxed{\text{ナ}}$と表される．

(2)　$\boxed{\text{あ}}$には下の(A)，(B)，(C)，(D)のなかで，あてはまるものをすべて選べ．

　一般に，$3$次関数$g(x)$が$-1\leqq x\leqq 2$で単調に増加する関数になるのは，次の$4$つのいずれかの場合である．

(A)　$g(x)$はすべての実数の範囲で単調に増加する．

(B)　$g(x)$は極大値を$x=\alpha \text{，}$極小値を$x=\beta$でとり，$\alpha <\beta \leqq -1$である．

(C)　$g(x)$は極大値を$x=\alpha \text{，}$極小値を$x=\beta$でとり，$2\leqq \alpha <\beta$である．

(D)　$g(x)$は極大値を$x=\alpha \text{，}$極小値を$x=\beta$でとり，$\beta \leqq -1<2\leqq \alpha$である．

　この$4$通りのうち，(1)の$f(x)$に対しては，どのような$a$をとっても起こりえないのは$\boxed{\text{あ}}$である．

　また，$f(x)$が$-1\leqq x\leqq 2$で単調に増加する関数になるのは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\leqq a<0$または$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$のときである．

【３】　$\boxed{\text{い}}$から$\boxed{\text{お}}$には下の選択肢(a)，(b)，(c)，(d)から正しいものを選べ．

(1)　$n$を整数とする．$n$が$6$または$15$で割り切れることは，$n$が$30$で割り切れるための$\boxed{\text{い}}$．

　$1\leqq n\leqq 300$をみたし，$6$または$15$で割り切れる$n$は全部で$\boxed{\text{ハ}}$個ある．

(2)　$m\text{，}n$を整数とする．$m+n\text{，}mn$がともに$12$で割り切れることは，$m\text{，}n$がともに$6$で割り切れるための$\boxed{\text{う}}$．

　$1\leqq m\leqq n\leqq 100$をみたし，$m+n\text{，}mn$がともに$12$で割り切れる$m\text{，}n$の組は全部で$\boxed{\text{ヒ}}$個ある．

(3)　$l\text{，}m\text{，}n$を整数とする．$l+m+n\text{，}lm+mn+nl\text{，}lmn$がすべて$5$で割り切れることは，$l\text{，}m\text{，}n$がすべて$5$で割り切れるための$\boxed{\text{え}}$．

(4)　$l\text{，}m\text{，}n$を整数とする．$l+m+n\text{，}lm+mn+nl\text{，}lmn$がすべて$30$で割り切れることは，$l\text{，}m\text{，}n$がすべて$30$で割り切れるための$\boxed{\text{お}}$．

　$1\leqq l\leqq m\leqq n\leqq 100$をみたし，$l+m+n\text{，}lm+mn+nl\text{，}lmn$がすべて$30$で割り切れる$l\text{，}m\text{，}n$の組は全部で$\boxed{\text{フ}}$個ある．

選択肢：

(a)　必要十分条件である

(b)　必要条件ではあるが十分条件ではない

(c)　十分条件ではあるが必要条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない