2000　東京理科大学　理学部数学科MathJax

【１】　$n$は自然数とし，

$a_n=(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}})-\log n$

とおく．$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$のグラフと，${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$を考えることにより，数列

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$

の性質を調べる．

(1)　$a_n>{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を証明せよ．

(2)　$a_n>a_{n+1}$を証明せよ．

(3)　$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$のグラフが下に凸であることを用いて，

${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})>\log (n+1)-\log n$

を証明せよ．

(4)　$a_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を証明せよ．

【２】　次の問題(1)では，$\boxed{}$内の(ア)から(ク)にあてはまる$0$から$9$までの数を求めて，その数を解答用マークシートの指定された行にマークせよ．

　問題(2)，(3)の解答は，解答用紙に記入せよ．

　実数$a$を越えない最大の整数を$❲a❳$で表す．すなわち$❲a❳$は整数で，かつ$0\leqq a-❲a❳<1$である．（例えば，$❲3.14❳=3\text{，}❲2❳=2\text{，}❲-4.44❳=-5$）

　さて，$m$を$2$以上の整数とするとき，

$❲a❳+{\displaystyle \frac{h}{m}}\leqq a<❲a❳+{\displaystyle \frac{h+1}{m}}\cdots \text{①}$

を満たす整数$h\text{（}0\leqq h\leqq m-1\text{）}$が唯一つ存在する．

(1)(a)　$\text{①}$式において，$a=4.44\text{，}m=80$のとき，$h=\boxed{\text{(ア)}\text{(イ)}}$である．

(b)　$i$は整数で，$0\leqq i\leqq 79$とすると，$❲4.44+{\displaystyle \frac{i}{80}}❳=❲4.44❳$となるのは，$0\leqq i\leqq \boxed{\text{(ウ)}\text{(エ)}}$のときであり，$❲4.44+{\displaystyle \frac{i}{80}}❳=❲4.44❳+1$となるのは，$\boxed{\text{(オ)}\text{(カ)}}\leqq i\leqq 79$のときである．

(c)　$❲80\times 4.44❳=\boxed{\text{(キ)}\text{(ク)}}❲4.44❳+\boxed{\text{(ア)}\text{(イ)}}$という関係がある．

(2)　$a\text{，}m\text{，}h$が$\text{①}$式を満たすとき，次の問に応えよ．

(a)　$i$は整数で，$0\leqq i\leqq m-1$とするとき，$❲a+{\displaystyle \frac{i}{m}}❳=❲a❳$となる$i$の範囲を$m$と$h$を用いて表せ．$❲a+{\displaystyle \frac{i}{m}}❳=❲a❳+1$となる$i$の範囲を$m$と$h$を用いて表せ．

(b)　$❲ma❳$を$m$と$❲a❳$と$h$で表せ．

(c)　${\displaystyle \sum _{i=0}^{m-1}}❲a+{\displaystyle \frac{i}{m}}❳$を$m$と$a$で表せ．

(3)　$a$は実数，$m$は$2$以上の整数，$k$は$0$以上の整数とし，

$S_k={\displaystyle \sum _{i=1}^{m-1}}❲{\displaystyle \frac{a+i{m}^k}{m^{k+1}}}❳$

とおく．

(a)　$S_k$を$a$と$m$と$k$で表せ．

(b)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{S}_k$を$a$と$m$と$n$で表せ．

(c)　${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{S}_k$を求めよ．