2001　室蘭工業大学　前期

【１】 　$a\text{，}b$は定数で$a\ne 0$とする．関数$f(x)=\log (x+1)\text{，}g(x)=a{x}^2+b$について，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$は点$(1,\log 2)$で交わり，その交点における$y=f(x)$の接線と$y=g(x)$の接線は垂直である．

(1)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)\text{，}y=g(x)$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$k$は定数とする．$2$つの連続関数$f(x)$と$g(x)$は次の等式を満たす．

$f(x)=2x^3+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)dt\text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)g(t)dt={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^5+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+k{x}^2$

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　連続関数$l(x)$に対して$H(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)l(t)dt$とおくとき，$H^{″}(x)=l(x)$が成り立つことを示せ．また，関数$g(x)$を$k$を用いて表せ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$3$点で交わるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【３】(1)　$a\text{，}b$は実数で$b>0$とする．$x>-a$を満たすすべての$x$に対して

$x+{\displaystyle \frac{b^2}{x+a}}\geqq 2b-a$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つときの$x$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$x>-1\text{，}y>0$を満たすすべての$x\text{，}y$に対して

$xy+{\displaystyle \frac{4y}{x+1}}+{\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{4}{(x+1)y}}\geqq 6$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つときの$x\text{，}y$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}$および

$a_{n+1}{a}_{n+2}-2a_n{a}_{n+1}+1=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$b_n=a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき数列$\{b_n\}$の第$n$項を求めよ．さらに，$a_{n+2}$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　すべての自然数$m$に対して

$a_{2m-1}\leqq 2^{n-1}\text{，}{a}_{2m}\leqq 3\cdot 2^{m-1}$

が成り立つことを示せ．

【５】　$s\text{，}t$は実数で$t>0$とする．平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(s,t)\text{，}\mathrm{C}(s,-t)$を考える．$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$のとき，$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　$s=1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が平行であるとき$t$の値を求めよ．

【６】　複素数$z_1=r(\cos \theta +i\sin \theta )$をとる．ただし，$r>0\text{，}0°\leqq \theta <360°\text{，}i$は虚数単位とする．また，複素数$z_2$は$|z_2|=2|z_1|$を満たすもののうちで，$z_1$との複素数平面上の距離が最大になるようにとる．

(1)　$z_2$を$r\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta \ne 0°\text{，}180°$とする．実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$z_1\text{，}{z}_2$が$x$に関する$4$次方程式$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+4=0$の解であるとき$a\text{，}b\text{，}c$を$\cos \theta$を用いて表せ．

【７】　零行列でない$2\times 2$行列$A$は

$A^2=kA$

を満たすとする．ここで$k$は実数とする．$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．

(1)　$k=1$ならば$E-A$は逆行列をもたないことを示せ．

(2)　$k\ne 1$かつ$A\ne kE$とする．$xE+yA$が$E-A$の逆行列であるような$x\text{，}y$を定めよ．

【８】　曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

$x=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\text{，}y=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}$

と表されているとする．

(1)　曲線$C$を表す$x$と$y$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$(t+{\displaystyle \frac{1}{t}},t-{\displaystyle \frac{1}{t}})$における接線の傾きと$y$切片を，それぞれ$t$を用いて表せ．ただし$t^2\ne 1$とする．