2001　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n+b_n$を求めよ．

(2)　$a_n$および$b_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　空間ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は条件

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$

をみたすものとする．空間内に原点$\mathrm{O}$をとり，定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{N}$および，実数$t\text{（}0<t<2\pi \text{）}$を変数とする動点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{ON}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos t)\overrightarrow{a}+(\sin t)\overrightarrow{b}$

によって定める．次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AN}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$および$\overrightarrow{\mathrm{AN}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ANP}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【３】　右図のように，$2$つの放物線$y=-x^2+1\text{，}y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$が$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，点$\mathrm{P}$における接線が互いに直交しているものとする．また，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$y=-x^2+1$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値および交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　放物線$y=-x^2+1$の点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(3)　斜線で示す図形$\mathrm{PQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$2$以上の自然数$n$に対し，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=1-x-e^{-nx}$

と定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)$の最大値とそのときの$x$を求めよ．

(2)　方程式$f_n(x)=0$の解で正のものはただ$1$つであることを示せ．

(3)　(2)の解を$a_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$を示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{a_n}}{f}_n(x)dx$を求めよ．