2001　東京医科歯科大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．ただし$\pi$は円周率を表す．

(1)　複素数$z$が$1+z+z^2+z^3+z^4=0$を満たすとき

$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)$

の値を求めよ．

(2)　絶対値$1\text{，}$偏角$2\theta \text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$の複素数$\omega$に対して$r=|1-\omega |$とおくとき，$\sin \theta$を$r$を用いて表せ．

(3)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$の値を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(1)　座標平面上で$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$を頂点にもつ正方形を考える．実数$t\text{（}0\leqq t\leqq 2\text{）}$に対して，$2$点$\mathrm{P}(t,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,t)$を通る直線とこの正方形が交わってできる線分の長さを$L(t)$とする．このとき，関数$L(t)$のグラフを描き，定積分${\displaystyle {\int }_0^2}L(t)dt$の値を求めよ．

(2)　座標空間において$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を頂点にもつ立方体を考える．実数$t\text{（}0\leqq t\leqq 3\text{）}$に対して，$3$点$\mathrm{P}(t,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,t,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,t)$を通る平面によるこの立方体の切り口の面積を$S(t)$とする．このとき，関数$S(t)$の最大値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}S(t)dt$の値を求めよ．

【３】　数の集合$\mathrm{A}$に関する以下の諸条件を考える．ただし$n\text{，}k$は$n\geqq k\geqq 0$を満たす整数とし，$x\text{，}y$は任意の数とする．

　条件$S_{n,k}$を満たすような集合$\mathrm{A}$の個数を$f(n,k)$と表し，条件$T_{n,k}$を満たすような集合$\mathrm{A}$の個数を$g(n,k)$と表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(n,0)$および$f(n,n)$を求めよ．また，$n>k\geqq 1$のとき$f(n,k)$を$f(n-1,k)$と$f(n-1,k-1)$を用いて表せ．

(2)　$n>k\geqq 1$のとき$g(n,k)$を$g(n-1,k)$と$g(n-2,k-1)$を用いて表せ．

(3)　$m\geqq 1\text{，}l\geqq 0$なる整数$m\text{，}l$に対して整数$h(m,l)$を

$h(m,l)=g(m+l-1,l)$

で定義する．このとき$h(m,0)$および$h(m,m)$を求めよ．また，$m>l\geqq 1$のとき$h(m,l)$を$h(m-1,l)$と$h(m-1,l-1)$を用いて表せ．

(4)　$g(12,4)$を求めよ．