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2001-10267-0101
2001 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 ,t>0 に対して定積分
S⁡(a ,t)= ∫ 0a ⁡| e-x - 1t | ⁢dx
を考える.
(1) a を固定したとき, t の関数 S⁡ (a,t ) の最小値 m⁡ (a) を求めよ.
(2) lima→ 0⁡ m ⁡(a) a2 を求めよ.
2001-10267-0102
配点70点
【2】 xyz 空間内の動点 P を考える. P は z≦ 0 の部分では最大秒速 a メートルで, z>0 の部分では最大秒速 1 メートルで動けるものとする. P がはじめに原点 (0 ,0,0 ) にあるとき,その 1 秒後までに P が到達し得る範囲の体積を求めよ.ただし, a>1 とする.
2001-10267-0103
【3】 箱の中に 1 から N までの番号が一つずつ書かれた N 枚のカードが入っている.この箱から無作為にカードを 1 枚取り出して戻すという試行を k 回行う.このとき,はじめから j 回目 ( j=1 ,⋯ ,k ) までに取り出したカードの番号の和を Xj とし, X1 , ⋯, Xk のうちのどれかが k となる確率を P N⁡( k) とする.
(1) N≧3 のとき PN ⁡(1 ), PN⁡ (2) ,PN ⁡(3 ) を N で表せ.
(2) P3⁡ (4) ,P3 ⁡(5 ) を求めよ.
(3) k≦N のとき, PN⁡ (k) を N と k で表せ.
2001-10267-0104
【4】 一辺の長さが 1 の正方形の紙を 1 本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる部分の多角形を P とする. P が線対称な五角形になるように折るとき, P の面積の最小値を求めよ.