2001　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$a>0\text{，}t>0$に対して定積分

$S(a,t)={\displaystyle {\int }_0^a}|e^{-x}-{\displaystyle \frac{1}{t}}|dx$

を考える．

(1)　$a$を固定したとき，$t$の関数$S(a,t)$の最小値$m(a)$を求めよ．

(2)　$\underset{a\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{m(a)}{a^2}}$を求めよ．

【２】　$xyz$空間内の動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は$z\leqq 0$の部分では最大秒速$a$メートルで，$z>0$の部分では最大秒速$1$メートルで動けるものとする．$\mathrm{P}$がはじめに原点$(0,0,0)$にあるとき，その$1$秒後までに$\mathrm{P}$が到達し得る範囲の体積を求めよ．ただし，$a>1$とする．

【３】　箱の中に$1$から$N$までの番号が一つずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．この箱から無作為にカードを$1$枚取り出して戻すという試行を$k$回行う．このとき，はじめから$j$回目$\text{（}j=1\text{，}\cdots \text{，}k\text{）}$までに取り出したカードの番号の和を$X_j$とし，$X_1\text{，}\cdots \text{，}{X}_k$のうちのどれかが$k$となる確率を$P_N\left(k\right)$とする．

(1)　$N\geqq 3$のとき$P_N(1)\text{，}{P}_N(2)\text{，}{P}_N(3)$を$N$で表せ．

(2)　$P_3(4)\text{，}{P}_3(5)$を求めよ．

(3)　$k\leqq N$のとき，$P_N(k)$を$N$と$k$で表せ．

【４】　一辺の長さが$1$の正方形の紙を$1$本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる部分の多角形を$P$とする．$P$が線対称な五角形になるように折るとき，$P$の面積の最小値を求めよ．