2001　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$a_n=\tan (11n)$とおく．このとき，次の(1)〜(4)を示せ．ただし，$\pi =3.14159265\cdots$は円周率である．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{711}<11-\frac{7\pi }{2}<\frac{\pi }{709}}\text{．}$

(2)　$a_1<0<a_2\text{．}$

(3)　$a_1\text{，}{a}_3\text{，}{a}_5\text{，}{a}_7\text{，}\cdots \text{，}{a}_{707}\text{，}{a}_{709}$は増加数列である．

(4)　無限数列$a_1\text{，}{a}_3\text{，}{a}_5\text{，}{a}_7\text{，}\cdots$は増加数列ではない．

【２】　$xy$平面の原点$(0,0)$を中心とする半径$a\text{，}b$の同心円上にそれぞれ動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{C}=(1,0)$とすると$▵\mathrm{ABC}$の面積は，$\mathrm{A}$が${\mathrm{A}}_0=(a\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\text{，}a\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})\text{，}\mathrm{B}$が${\mathrm{B}}_0=(b\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}},b\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$のときに最大値をとるという．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　$▵{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\mathrm{C}$の外接円の半径$R$を求めよ．