2001　信州大学　前期　精密素材工学科MathJax

【１】　$m$と$n$は正の整数とする．$m$と$n$が等しい場合と異なる場合に分けて次の定積分を行え．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\cos mx\cos nxdx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\sin mx\cos nxdx$

　ただし，$x$は実数変数である．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　曲線$y=e^x$と直線$y=ax$が第$1$象限で接するときの傾き$a$の値を求め，接点の座標を示せ．ただし，$x$は実数変数，$e$は自然対数の底である．

問２　曲線$y=e^x$と問１で求めた直線$y=ax$および$y$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$x$と$t$は実数変数である．

問１　次の関数$f(x)$を微分せよ．

$f(x)=x\sqrt{x^2+1}$

問２　次の不定積分

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$

を$x+\sqrt{x^2+1}=y$と置換することにより求めよ．

問３　次の関数$g(x)$

$g(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+2}}\sqrt{t^2+1}dt$

が最小となる$x$の値を求めよ．

問４　問３の関数$g(x)$の最小値を求めよ．