2001　信州大学　前期　繊維システム工学科MathJax

【１】　次の関数を微分しなさい．

(1)　$y=x{e}^{2x}$

【１】　次の関数を微分しなさい．

(2)　$y=\tan 2x$

【１】　次の関数を微分しなさい．

(3)　$y=x^3\sqrt{1+x^2}$

【２】　次の積分を求めなさい．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}}dx$

【２】　次の積分を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \int }\cos (x)e^{ax}dx$

【２】　次の積分を求めなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}|x-1|dx$

【３】　三次関数$y=f(x)$について，$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)$の増減を調べたところ，右表のようになった．

(1)　$f^{\prime }(x)$の最高次の係数を$a$とするとき，$a$を用いて$f^{\prime }(x)$を表せ．

(2)　$f^{″}(0)=-6$が成り立つとき，$y=f(x)$を求めよ．

(3)　空白をうめて，右の増減表を完成せよ．

【４】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式は，${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_{1}y}{b^2}}=1$であることを証明せよ．ただし，$y_1\ne 0$とする．

【５】　$x\text{，}y$平面上において，次の二つの関数で表される曲線をサイクロイドという．サイクロイド

$x=a(\theta -\sin \theta )\text{，}y=a(1-\cos \theta )$

の$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の部分の長さ$L$を求めよ．また，その部分と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．さらに，その曲線を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．ただし，$a>0$とする．