2001　信州大学　後期　教育学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とする．$n$は自然数で，$c\leqq nb$を満たしているとする．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を

$▵\mathrm{ADE}={\displaystyle \frac{1}{n}}▵\mathrm{ABC}$

となるようにとるとき，線分$\mathrm{DE}$の長さが最小となる$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の位置を求めよ．

【２】　$z^4=i$を満たす複素数のひとつを$z_1$とする．ここで$i$は虚数単位（$i^2=-1$）である．次の問に答えよ．

(1)　方程式$z^4-i=0$のすべての解を$z_1$を用いて表せ．

(2)　方程式$z^4+1=0$のすべての解を$z_1$を用いて表せ．

(3)　(2)で得られた解で，互いに共役とならない解の組をすべてあげよ．

(4)　(2)で得られた解で，互いに共役となる解の組をあげて，そのときの$z_1$を$a+bi$の形で表せ．

【３】　自然数$n$に対して

$S_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n}}$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　等式

$S_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }t{e}^{t}dt$を求めよ．

(2)　次の関数$f(x)$の区間$(1,e)$における最小値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}t|e^t-x|dt$