2001　信州大学　後期　理学部数学III,CMathJax

【１】　$i$を自然数とし，${\mathtt{x}}_i\text{，}{\mathtt{y}}_i$を$2$次の列ベクトルとする．

(1)　${\mathtt{x}}_2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right){\mathtt{x}}_1$とするとき，ベクトルの長さ$|{\mathtt{x}}_2|$を$|{\mathtt{x}}_1|$を用いて表せ．

(2)　ベクトルの列$\left\{{\mathtt{x}}_i\right\}$が${\mathtt{x}}_{i+1}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right){\mathtt{x}}_i$を満たすとき，任意の${\mathtt{x}}_1$に対して，$\underset{i\to \infty }{\lim }|{\mathtt{x}}_i|=0$となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす$a\text{，}b$とベクトル$\mathtt{v}$について

${\mathtt{y}}_{i+1}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right){\mathtt{y}}_i+\mathtt{v}$

で定められるベクトルの列$\left\{{\mathtt{y}}_i\right\}$を考える．このとき，あるベクトル$\mathtt{u}$があって，$\underset{i\to \infty }{\lim }|{\mathtt{y}}_i-\mathtt{u}|=0$となる．この性質をもつ$\mathtt{u}$を$\mathtt{v}$を用いて表せ．

【２】　$n$を$0$以上の整数とし，$a_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{-x}dx$とおく．ただし，$0!=1$である．

(1)　$a_0\text{，}{a}_1$を求めよ．

(2)　$0\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}$であることを示し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(4)　$a_n$を考えることにより，無限級数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}$の和を求めよ．

【３】(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta d\theta$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^4\theta {\cos }^2\theta d\theta ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^2\theta {\cos }^4\theta d\theta$を示せ．

(3)　次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

$x={\cos }^3\theta \text{，}y={\sin }^3\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$