2001　静岡大学　前期MathJax

【１】　$2$定点$\mathrm{A}$$(5,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,5)$と，直線$x+y=3$上を動く点$\mathrm{P}$$(x,y)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の大きさの最小値を求めよ．

(2)　ベクトル$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の大きさが$9$以下となるような点$\mathrm{P}$の範囲を図示せよ．

【２】　$3$次方程式$x^3-1=0$の$1$と異なる解のひとつを$\omega$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\omega }^2+\omega$の値を求めよ．

(2)　等式$x^3-3abx+a^3+b^3$$=(x+a+b)(x+a\omega +b{\omega }^2)(x+a{\omega }^2+b\omega )$を示せ．

(3)　(2)を利用して$3$次方程式$x^3-6x+6=0$の解を$\omega$を用いて表せ．

【３】　$2$つのさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$X$とするとき，$\sin (30X)\mathrm{°}$の期待値を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2-2$と直線$y=ax$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の間の放物線上に点$\mathrm{C}$をとり，放物線と線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$放物線と線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき$S_1+S_2$の最小値を$a$を用いて表せ．

【１】　$2$つのさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$X$とするとき，$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}X)$の期待値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が逆行列をもたないとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)　$A^2=(a+d)A$を示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$E+A^n\text{，}$$E-A^n$の少なくとも一方は逆行列をもつことを示せ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-\log x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　方程式$f(x)=0$は区間$1\leqq x\leqq 3$に$2$つの解をもつことを示せ．ただし，$\log 3=1.09\cdots \text{，}$$e=2.71\cdots$である．

(2)　(1)で得られた$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，曲線$y=f(x)$$\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{）}$の長さは$2$より小さいことを示せ．

【４】　$x>-1$で定義された微分可能な関数$f(x)$が

$(x+1)\{f(x)-\log (x+1)+1\}={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$c$は$0<c<1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を$a_1=0\text{，}$$a_n={\displaystyle {\int }_0^c}\{f(t)+a_{n-1}\}\mathit{dt}$$\text{(}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots \text{）}$で定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　座標平面上に曲線$C\text{：}|x^2-1|+y=2$$\text{（}y>0\text{）}$と直線$l\text{：}y=mx+m-1$$\text{（}m$は正の定数）がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　直線$l$は$m$の値によらず定点を通ることを示せ．

(3)　$l$が$C$の$-1<x<1$の部分と接するとき，接点の座標と$m$の値を求めよ．

(4)　$C$と$l$が異なる$3$個の共有点を持つときの$m$の値の範囲を求めよ．

【３】　分数関数$f(x)={\displaystyle \frac{10}{16x^4+24x^2+25}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　 $f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{4x^2+4x+5}}+{\displaystyle \frac{cx+d}{4x^2-4x+5}}$を満たす定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　実数$k$を$k>-1$とする．関数$f(x)=-k|x-1|+1+k$について，次の問いに答えよ．

(1)　区間$0\leqq x\leqq 2$で$f(x)>0$であることを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{1+k^2}{{f(x)}^2}}\mathit{dx}$を計算し，$k$の式で表せ．

(3)　$k$が$k>-1$の範囲を動くとき，$F(k)={\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{1+k^2}{{f(x)}^2}}\mathit{dx}$の最小値を求めよ．