2001　静岡大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(x_0,y_0)$$\text{（}{y}_0>0\text{）}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表したとき，$\alpha \text{，}$$\beta$を$x_0\text{，}$$y_0\text{，}$$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$x^2+y^2\leqq 1$を満たしながら動くとき，$\alpha$のとりうる範囲を$x_0\text{，}$$y_0$を用いて表せ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して$A^2=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$とおく．$ad-bc>0$かつ$ps-qr=1$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$ad-bc$の値を求めよ．

(2)　さらに$A^2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$が成り立つとき，$a+d$の値を求めよ．

【３】　楕$C\text{：}{a}^2{x}^2+y^2=a^2$$\text{（}a>0\text{）}$と直線$l\text{：}x+y=b$$\text{（}b>1\text{）}$が点$\mathrm{P}$で接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の関係を求めよ．

(2)　接点$\mathrm{P}$の座標を$b$を用いて表せ．

(3)　$b={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$のとき，$C\text{，}$$l$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$f(x)=x^2{e}^{-x}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$e^x>{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3$が成り立つことを示せ．

(2)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$の値を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$を$a_n={\displaystyle {\int }_0^n}f(x)\mathit{dx}$で定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．複素数$\omega$を$\omega =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overline{{\omega }^k}={\omega }^{n-k}$$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$を示せ．ただし，$\overline{{\omega }^k}$は${\omega }^k$の共役複素数を表す．

(2)　${\alpha }_k={\displaystyle \frac{1+{\omega }^k}{1-{\omega }^k}}$$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$とおくとき，${\alpha }_{\mathrm{n}}+\cdots +{\alpha }_{n-1}$の値を求めよ．

【３】　$r_1\text{，}$$r_2\text{，}\cdots \text{，}$$r_n$を$r_i\geqq 0$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$を満たす実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^3-3r_1{r}_{2}x+{r_1}^3+{r_2}^3$は，$x\geqq 0$において$f(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$について，

${r_1}^n+{r_2}^n+\cdots +{r_n}^n\geqq n{r}_1{r}_2\cdots r_n$

が成立することを示せ．

【４】　実数$a\text{，}$$h$は$0<a-h<a<a+h<1$を満たす．曲線$C\text{：}y=e^x\sin x$と$y$軸に平行な$3$つの直線$x=a-h\text{，}$$x=a+h\text{，}$$x=a$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{A}$とする．また直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$a\text{，}$$h$を用いて表せ．

(2)　極限$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{h^2}}$の値を求めよ．