2001　大阪大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)\text{，}\mathrm{C}(2,8)\text{，}\mathrm{D}(1,8)$を頂点とする長方形を$R$とする．また$0<t<4$に対し，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{E}(4,0)\text{，}$および点$\mathrm{P}(t,8t-2t^2)$の$3$点を頂点とする三角形を$T(t)$とする．

(1)　$R$の内部と$T(t)$の内部との共通部分の面積$f(t)$を求めよ．

(2)　$t$が$0<t<4$の範囲で動くとき，$f(t)$を最大にする$t$の値と，そのときの最大値を求めよ．

【２】　空間のベクトル$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)\text{，}\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,y_3)$を考える．ただし，どちらも零ベクトルではないとする．$k=1\text{，}2\text{，}3$に対し，複素数

$z_k=x_k+y_{k}i$（$i=\sqrt{-1}$は虚数単位）

を考え，複素数$w_k=u_k+v_{k}i$（$u_k\text{，}{v}_k$は実数）を

$w_k=(\sqrt{3}+i)z_k$

で定める．さらに$u_k\text{，}{v}_k$から定まるベクトル

$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)\text{，}\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$

を考える．

(1)　$\overrightarrow{x}$の大きさを$r\text{，}\overrightarrow{y}$の大きさを$s\text{，}\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$のなす角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$とするとき${z_1}^2+{z_2}^2+{z_3}^2$を$r\text{，}s\text{，}\theta$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の大きさが等しく，両者はたがいに垂直であるとする．このとき$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$も大きさが等しく，たがいに垂直であることを示せ．

(3)　(2)の仮定のもとで，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{u}$のなす角を求めよ．

【３】　各整数$k$に対し，座標平面上の点

${\mathrm{P}}_k({\displaystyle \frac{k}{500}},0)\text{，}{\mathrm{Q}}_k({\displaystyle \frac{k}{500}},1)$

をとり，$3$点${\mathrm{P}}_{k-1}\text{，}{\mathrm{P}}_k\text{，}{\mathrm{Q}}_k$を頂点とする三角形$T_k$を考える．また，各自然数$n$に対し

$f_n(x)=2\times {10}^{-nx}$

とおく．曲線$y=f_n(x)$上の動点$\mathrm{R}$が，点$(0,2)$から出発して$x$座標が大きくなる方向に動くとき，三角形$T_k$のうち，$\mathrm{R}$が最初にその内部を通過するものが$T_8$となるような$n$をすべて求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　$2$つの複素数$z=x+yi\text{，}w=u+vi$（$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$は実数，$i=\sqrt{-1}$は虚数単位）に対し，$x\geqq u$と$y\geqq v$がともに成り立つとき，$z\gg w$と書くことにする．

(1)　次の条件

$z^2\gg 3$かつ$\bar{z}\gg -{\displaystyle \frac{5}{\bar{z}}}$

をみたす複素数$z$の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．ただし，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数とする．

(2)　(1)で求めた範囲を$z$が動くとき，絶対値$|z-3i|$の最小値，および最小値をあたえる$z$を求めよ．

【２】　$f(x)=x^4+x^3-3x^2$とおく．曲線$y=f(x)$に点$(0,a)$から接線がただひとつ引けるとし，しかもその接線はただ$1$点でこの曲線に接するとする．このときの$a$の値を求めよ．

【３】　半径$1$の円周上に，$4n$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{4n-1}$が，反時計回りに等間隔に並んでいるとする．ただし，$n$は自然数である．

(1)　線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$の長さが$\sqrt{2}$以上となる$k$の範囲を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{4n-1}$のうちの相異なる$3$点を頂点に持つ三角形のうち，各辺の長さがすべて$\sqrt{2}$以上になるものの個数$g\left(n\right)$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=4{\cos }^{2}x-8\cos x+3$を考える．$n\text{，}k$を自然数とし

$g_n\left(k\right)=f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3n}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3n}}\right)+\cdots +f\left({\displaystyle \frac{k\pi }{3n}}\right)$

とおく．ただし$n\geqq 2$とする．

(1)　$n$を固定する．$2\leqq k\leqq 3n$の範囲で$g_n(k-1)\geqq g_n(k)$となる$k$をすべて求めよ．また，$k$が$1\leqq k\leqq 3n$の範囲を動くとき，$g_n(k)$を最小とする$k$をすべて求めよ．

(2)　(1)における$g_n(k)$の最小値を$G_n$とする．このとき極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{G_n}{n}}$

を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$において，各項$a_n$が$a_n\geqq 0$をみたし，かつ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つとする．さらに各$n$に対し

$b_n=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)$

$c_n=1-(a_1+a_2+\cdots +a_n)$

とおく．

(1)　すべての$n$に対し不等式$b_n\geqq c_n$が成り立つことを，数学的帰納法で示せ．

(2)　ある$n$について$b_{n+1}=c_{n+1}$が成り立てば，$b_n=c_n$となることを示せ．

(3)　$b_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$c_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．また$b_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる数列$\{a_n\}$は全部で何種類あるかを求めよ．