2001　佐賀大学　前期

【１】　$6$個の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$から重複を許して$4$個を取り出し，それらを並べて$4$桁の整数をつくる．千の位，百の位，十の位，一の位の数字を，それぞれ，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とおく．次のような整数は，それぞれ何通りできるか．

(1)　$a<d$

(2)　$a<b\leqq c<d$

【２】　$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$のとき，関数$y={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta -{\cos }^2\theta$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y$の最大値，最小値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(2)　この関数のグラフをかけ．

【３】　正の数$p\text{，}$$q$が$q<p^2$を満たしているとする．$2$次関数$y=x^2$のグラフを$F$とし，$F$を$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものを$G$とする．$F\text{，}$$\mathrm{G}$と$y$軸で囲まれた図形のうち，$F$と$G$の交点を通り，$x$軸に平行な直線の上側，下側にある部分の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2$とする．$S_1<S_2$であるとき，点$(p,q)$の存在範囲を図示せよ．

【４】　$0$でない複素数$z$について，次の問いに答えよ．

(1)　$z$の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta$とするとき，$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$の実部と虚部を，$r$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$n$を正の整数とする．$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$が実数または純虚数ならば，$z^n+{\displaystyle \frac{1}{z^n}}$も実数または純虚数であることを証明せよ．

【１】　$2$次関数$y=4x^2+8mx+4m$について，以下の問いに答えよ．

(1)　この$2$次関数の最小値$l$を，$m$の式で表せ．

(2)　(1)の$l$が正であるための$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　$m$の値を変化させて，(1)の$l$が最も大きくなるときの$m$の値と，そのときの$l$の値を求めよ．

(4)　(1)の$l$に定数$a$を加えて得られる$m$の関数を$n=f(m)$とする．この関数のグラフが$m$軸と$1$点で接するように，$a$の値を定めよ．

【２】　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$をみたし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$をみたすとする．また，ベクトル$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$は実数$p\text{，}$$q\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{c}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

と表されるとし，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$が成立しているとする．

(1)　$p$と$s$との関係式，および$q$と$t$との関係式を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{c}\right|=1$のとき，$p\text{，}$$q$と$\cos \theta$との関係式を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{d}\right|=1$のとき，(1)の結果を用いて，$p\text{，}$$q$と$\cos \theta$との関係式を求めよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|=1$のとき，

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$または$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

が成り立つことを，上の結果を用いて示せ．

【３】　$1$回の試行で事象$A$が起こる確率が$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$であるとする．この試行を$n$回行うときに奇数回$A$が起こる確率を$a_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を$p$で表せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$p$で表せ．

(3)　$a_n$を$n$と$p$で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

(5)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの(3)の結果を用いて，${\displaystyle \sum _{k=0}^n{}_{2n}C_{2k}}$を$n$の式で表せ．

【４】　右の図のように，原点$\mathrm{O}$から物体$\mathrm{P}$を，水平面と角$\alpha$$\text{（}0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}\text{）}$をなす方向に，速さ$v_{0}m/\text{秒}$$\text{（}{v}_0>0\text{）}$で投げたとき，投げてから$t$秒後の$\mathrm{P}$の位置を$(x,y)$とする．空気抵抗を無視すると，$x$と$y$は$g$を正定数として$x=(v_0\cos \alpha )t\text{，}$$y=(v_0\sin \alpha )t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$と表される．

(1)　$\mathrm{P}$が正の時刻で$x$軸に到達する位置を$(l,0)$とするとき，$l$を$\alpha \text{，}$$v_0\text{，}$$g$で表せ．

(2)　正の時刻で$x$軸に到達するまでに$\mathrm{P}$が描く曲線と$x$軸とで囲まれる図形の面積$S$を$\alpha \text{，}$$v_0\text{，}$$g$で表せ．

(3)　$v_0$を固定し，$\alpha$を動かすとき，$S$の最大値を$v_0\text{，}$$g$で表せ．

【１】(1)　${10}^{a-b}={\displaystyle \frac{{10}^a}{{10}^b}}$を用いて，${\log }_{10}{\displaystyle \frac{u}{v}}={\log }_{10}u-{\log }_{10}v$を示せ．ただし，$u\text{，}$$v$は正の実数とする．

(2)　不等式${\log }_{10}5x^2-{\log }_{10}{(x+1)}^2\geqq 1$をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$$\text{（}a>0\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数）について，以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実解をもつための条件を，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$が$x=-1$で極大値を，$x=2$で極小値をとるとき，極大値および極小値を$a$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$が(2)の条件をみたすとき，$f(x)=0$の$3$個の実解を求めよ．

【４】　$1$回の試行で事象$A$が起こる確率が$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$であるとする．この試行を$n$回行うときに奇数回$A$が起こる確率を$a_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を$p$で表せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$p$で表せ．

(3)　$a_n$を$n$と$p$で表せ．

(4)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの(3)の結果を用いて，${\displaystyle \sum _{k=0}^n{}_{2n}C_{2k}}$を$n$の式で表せ．