2001　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　変数$\theta$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$\theta$の関数

$f(\theta )=4{\sin }^3\theta$$-9\sin \theta \cos \theta$$+4{\cos }^3\theta +1$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とするとき，$t$のとる値の範囲を求めよ．

(2)　$\theta$の関数$f(\theta )$を$t$の関数$g(t)$として表せ．

(3)　$t$が(1)の範囲を動くとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x-e^{x-1}$について，方程式$f(x)=0$は正の解をただ$1$つもつことを示し，その解を求めよ．

(2)　$x>0$で曲線$y=2x^2\log x$と曲線$y=k{x}^2-k$$\text{（}k>0\text{）}$が共有点において，共通の接線をもつように定数$k$の値を定めよ．

(3)　(2)の$k$の値とそのときの共有点の$x$座標$\alpha$に対して，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{\alpha }}(2x^2\log x-k{x}^2+k)\mathit{dx}$

を求めよ．ただし，必要があれば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$を用いてよい．

【３-１】　次の各問に答えよ．

(1)　次の等式を証明せよ．

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)={(ac+bd)}^2+{(ad-bc)}^2$

(2)　二つの整数の平方の和で表される数の全体からなる集合を$A$とする．$x\text{，}$$y$が集合$A$の要素であるとき，積$xy$もまた集合$A$の要素であることを証明せよ．

(3)　(2)の集合$A$に対して，$5$および$5^5$は$A$の要素であることを証明せよ．

【３−２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．数列$|a_n\}$が$a_2=3\text{，}$$n{S}_n=(n-1)(2a_n+2-n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をみたしているとき，次の各問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$は$n{a}_{n+1}-2(n+1)a_n=n+2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をみたすことを証明せよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{n}}(a_n+1)$で与えられる数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2a_k+1)$を$n$の式で表せ．

【３-３】　円$O$の直交する二つの直径$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$に対して，$\mathrm{OR}$の延長上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{PA}=\mathrm{PQ}$となるようにとる．$\mathrm{PA}$と円$O$の交点を$\mathrm{M}$とし，さらに線分$\mathrm{MQ}$と線分$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{PA}$の中点であることを証明せよ．

(2)　線分の長さの比$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}$と$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PR}$は$\mathrm{\angle APB}$の二等分線であることを証明せよ．

【４-１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$とし，実数$k>0\text{，}$$l>0$に対して，$4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+k\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$で与えられる点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で与えられている点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を$k$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるとき，$k$の値を求めよ．

(3)　(2)の$k$の値に対して，点$\mathrm{Q}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上にあるとき，$l$の値を求めよ．

【４-２】　$i$を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　複素数$z$に対して，${\displaystyle \frac{z-2i}{i(z-2)}}$が実数となるとき，複素数平面において点$z$はどのような図形を描くか．

(2)　(1)で与えられる図形上の原点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$が正三角形の頂点をなすとき，複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \arg \alpha <\arg \beta <360\mathrm{°}$とし，$\arg z$は$z$の偏角を表す．

【４-３】　$3$個のさいころを同時に振るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　次の確率を求めよ．

(a)　$1$の目のみが$3$個出る確率

(b)　$1$と$2$の両方の目が出て，その他の目が出ない確率

(c)　$1$と$2$と$3$の$3$種類の目が$1$個ずつ出る確率

(2)　出る目の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$M-m=k$となる確率$p_k$$\text{（}0\leqq k\leqq 5\text{）}$を求めよ．ただし，必要ならば$k\geqq 2$の計算には，次の事項(ⅰ)，(ⅱ)を用いてもよい．

(ⅰ)　出る目の数は，$m\text{，}$$m+k$の$2$種類の目のみの場合と$m\text{，}$$m+k\text{，}$$m+i$$\text{（}1\leqq i\leqq k-1\text{）}$の$3$種類の目の場合のいずれかである．

(ⅱ)　$1\leqq m\leqq 6-k$である．

【５-１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$について，以下の手順で$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$x^2-yz=1\text{，}$$x>0$とする．行列$P=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& x\end{array}\right)$が$P^{-1}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)P=A$をみたすように$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を定めよ．

(2)　${\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$であることを証明せよ．

(3)　$A^n$を求めよ．

【５-２】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と直線$x=2$からの距離の比が$\sqrt{r}:1$であるような点$\mathrm{P}$について，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　$r=2$のとき，軌跡$C$はどのような図形になるか答え，その軌跡の概形を描け．

(3)　軌跡$C$が，長軸の長さが$\sqrt{5}$であるような楕円になるときの$r$の値を求めよ．

【５-３】　関数$f(x)=x^3-x^2-x-1$について，次の各問に答えよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=0$の正の解の個数は$1$個であることを証明せよ．

(2)　(1)の解をニュートン法で計算する式は

$x_{n+1}={\displaystyle \frac{2x_n^3-x_n^2+1}{3x_n^2-2x_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となることを証明せよ．

(3)　この方程式の正の解の近似値を，ニュートン法を用いて計算する．$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$と$f(2)$の絶対値$|f({\displaystyle \frac{3}{2}}\left)\right|\text{，}$$|f(2)|$の小さい方の$x$の値$x_1$を求めよ．さらに，$x_1$を初期値として，正の解の近似値$x_2$を求めよ．

【５-４】　確率変数$X$は，$n$個の値$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$を等しい確率でとるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　確率変数$X$の平均値と標準偏差を求めよ．

(2)　確率変数$Y=2X-1$の平均値$m$と標準偏差$\sigma$を求めよ．

(3)　$|Y-m|<\sqrt{3}\sigma$を証明せよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【１】　曲線$y=-x^2+4$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$を$C$とする．曲線$C$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分上に点$\mathrm{R}$をとる．点$\mathrm{R}$を通り，$x$軸に垂直な直線がこの曲線$C$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の座標を$(t,0)$とするとき，線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{RS}$および曲線$C$とで囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$の最大値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．