2001　横浜市立大　前期MathJax

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　関数$f(x)=x+2\sqrt{1-x^2}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$a=0\text{，}b=1$に対して

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c)\text{，}a<c<b$

をみたす実数$c$は$c=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　実数$\theta$に対して$2$次方程式$x^2-(\sin \theta +2\cos \theta )x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2\theta )=0$の解を$\alpha (\theta )\text{，}\beta (\theta )$とし，$\gamma (\theta )={\{\alpha (\theta )\}}^2\beta (\theta )+\alpha (\theta ){\{\beta (\theta )\}}^2$とおく．このとき，${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}\gamma (\theta )d\theta$の値は$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　$2$次の単位行列を$E$とし，$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}Y=X-E$とおく．正の整数$n$について実数$p_n\text{，}{q}_n$が$X^n=p_{n}Y+q_{n}E$をみたすとき，$p_n=\boxed{\text{(ウ)}}\text{，}{q}_n=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)の空欄には適する文章を，(ク)，(ケ)の空欄には適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$p\text{，}q$を実数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$に関する命題

『$q<0$ならば$x^2+px+q=0$は正の実数解をもつ』

の逆は$\boxed{\text{(カ)}}$であり，また対偶は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)の空欄には適する文章を，(ク)，(ケ)の空欄には適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　右図の格子上の点$\mathrm{O}$から動点$\mathrm{P}$が出発して，線分に沿って動く運動を考える．ただし，一度通過した線分は再び通らないとし，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに到達したらそこで運動は終わりとする．また格子点上では通過した線分を除き等しい確率で次の格子点へ移動するものとする．$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$に到達する確率は$\boxed{\text{(ク)}}$であり，$\mathrm{A}$に到達する確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+bx+4$（$a\text{，}b$は実数）について次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対し$f^{\prime }(x)\geqq 0$となるための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}b$は(1)の条件をみたすとする．正の実数$t$に対し$xy$平面上の$3$直線$y={\displaystyle \frac{1}{f(t)}}x\text{，}y=0\text{，}x+y=t$で囲まれた三角形の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$f(t)$と$t$を用いて表せ．

(3)　(2)において$t$がすべての正の実数を動くとき，$S(t)$は$t=5$で最大値をとるとする．このとき，正の整数$a\text{，}b$の値をすべて求めよ．

【４】　実数$\beta >1$に対して関数$f(x)$を

$f(x)=\beta x-[\beta x]$

で定義する．ここで実数$y$に対して$[y]$は$m\leqq y<m+1$をみたす整数$m$を表す．すなわち$[y]$は$y$を越えない最大の整数である．関数$f_n(x)\text{，}{d}_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$をそれぞれ

$f_1(x)=f(x)\text{，}{f}_{n+1}(x)=f(f_n(x))\text{，}$

$d_1(x)=[\beta x]\text{，}{d}_{n+1}(x)=[\beta f_n(x)]$

で定義する．$x$の範囲を$0\leqq x\leqq 1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$0\leqq d_n(x)\leqq [\beta ]$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$f_n(x)={\beta }^{n}x-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\beta }^{n-k}{d}_k(x)$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }|x-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{d_k(x)}{{\beta }^k}}|=0$を証明せよ．