2001　大阪府立大学　中期MathJax

【１】

(1)　関数$f(x)=\sin (\log (x^2+1))$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ a+3& 1-b\end{array}\right)$が$A^3=2A^2$を満たすとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし$a\geqq 0$とする．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(3)　複素数$\alpha$を$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とする．自然数$n$に対して

$F(n)={\displaystyle \frac{({\alpha }^n-1)({\alpha }^{2n}-1)({\alpha }^{3n}-1)({\alpha }^{4n}-1)({\alpha }^{5n}-1)}{(\alpha -1)({\alpha }^2-1)({\alpha }^3-1)({\alpha }^4-1)({\alpha }^5-1)}}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$F(8)\text{，}F(11)$の値を求めよ．

(ⅱ)　$F(n)=1$を満たす$n$をすべて求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　空間内に原点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(1,0,\sqrt{3})$に平行な直線$l$がある．原点$\mathrm{O}$を頂点とする直円錐$C$の底面の中心$\mathrm{H}$は直線$l$上にある．また，点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{10}{3}})$は直円錐$C$の底面の周上にある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{AOH}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}(x,y,\sqrt{3})$が直円錐$C$の側面上にあるとき，$x\text{，}y$の満たす関係式を求めよ．また，その関係式が$xy$平面上で表す曲線の概形を描け．

（(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　$a\text{，}b$を正の定数とする．直線$y=ax$と曲線$C:y=x^2-bx$の$2$つの交点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha ,\beta )$とする．直線$\mathrm{AO}$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$とし，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{Q}}_1(u_1,v_1)$とする．次ぎに，直線$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_1$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とし，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{Q}}_2(u_2,v_2)$とする．以下同様にして，直線$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_{n-1}$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$とし，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$に平行に曲線$C$の接線を引きその接点を${\mathrm{Q}}_n(u_n,v_n)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$および$x_1$を求めよ．

(2)　$x_n$と$u_{n-1}$の間に成り立つ関係式，および$u_n$と$x_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$x_{n+1}$と$x_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(4)　$x_n$を$a\text{，}b$および$n$を用いて表せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

（(1)，(3)，(4)，(5)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　関数$f_1(x)$が与えられたとき，

$f_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t{f}_n(t)dt\cdots \text{①}$

によって$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}{f}_4(x)\text{，}\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1(x)=1$とする．$f_1(x)=p_1(x)$のときに式$\text{①}$で定まる$f_n(x)$を$p_n(x)$で表す．

(ⅰ)　$p_3(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\{g(x)\}}^2$となる関数$g(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$p_n(x)$を求めよ．

(2)　$q_1(x)=e^{2x}+e^x+1$とする．$f_1(x)=q_1(x)$のときに式$\text{①}$で定まる$f_n(x)$を$q_n(x)$で表す．$q_n(x)$を$p_n(x)\text{，}{p}_{n+1}(x)\text{，}{p}_{n+2}(x)$を用いて表せ．

（(1)(ⅰ)については計算の過程を記入しなくてよい．）