2001　学習院大学　法学部MathJax

【１】　$k$を実数とし，$2$次方程式

$x^2+kx+3=0$

の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．

(1)　等式${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}}=2$が成り立つように$k$を定めよ．

(2)　$k>0$のとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の最大値とそれを与える$k$を求めよ．

【２】　平面上の$2$点$\mathrm{A}(-4,0)\text{，}\mathrm{B}(12,0)$に対して

$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=5:3$

となる点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．またこの軌跡上の点で，点$\mathrm{C}(1,20)$に最も近いものを求めよ．

【３】　自然数$n$に対して

$f_n(\theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$

とおく．ただし，$\sin \theta \ne 0$とする．$n\geqq 2$に対して次の問に答えよ．

(1)　$f_n(\theta )=0$のとき，$f_{n+1}(\theta )f_{n-1}(\theta )$を求めよ．

(2)　${f_n(\theta )}^2=1$のとき，$f_{n+1}(\theta )f_{n-1}(\theta )$を求めよ．

【４】　$a$を$0\leqq a\leqq 1$を満たす実数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=a$

$\{\begin{array}{ll}{a}_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{のとき}& a_{n+1}=2a_n\\ a_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{のとき}& a_{n+1}=2-2a_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$a_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$a$をすべて求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について$a_n=a_{n+2}$が成り立つとする．このような$a$をすべて求めよ．