2001　早稲田大学　理工学部MathJax

2001-13591-0101

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易□　並□　難□

【１】　複素数 $z$ を

$z = \cos \frac{2 π}{7} + i \sin \frac{2 π}{7}$

とおく．次の問に答えよ．

(ⅰ)　 $z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6}$ の値を求めよ．

(ⅱ)　複素数平面において， $1 ， z ， z^{2} ， z^{3} ， z^{4} ， z^{5} ， z^{6}$ が表す点を，それぞれ $P_{0} ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5} ， P_{6}$ とする． $▵ P_{1} P_{2} P_{4}$ の重心を $Q (α) ， ▵ P_{3} P_{5} P_{6}$ の重心を $R (β)$ とおくとき，複素数 $α$ と $β$ を求めよ．

(ⅲ)　 $▵ P_{0} QR$ の面積を求めよ．

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【２】　点 $A (a, b)$ は中心 $O (0, 0) ，$ 半径 $1$ の円の内部およびその周上を動き，点 $P (p, q)$ は中心 $O^{'} (4, 0) ，$ 半径 $1$ の円の内部およびその周上を動くとする．このとき

$k = \frac{a + b - p - q}{a - b - p + q}$

とおく．次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線 $AP$ の傾きを $m$ とする． $k$ を $m$ を用いて表せ．

(ⅱ)　 $k$ の値の取り得る範囲を求めよ．

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【３】　関数 $f (x) = e^{- 2 x} \sin^{2} x$ について次の問に答えよ．

(ⅰ)　区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ における $f (x)$ の増減を調べ，この区間における $y = f (x)$ のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　極限値

$\lim_{M \to + \infty} \int_{0}^{M} f (x) d x$

を求めよ．

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【４】　 $3$ 人のテニス・プレーヤー $A ， B ， C$ がいる． $C$ が $A$ に勝つ確率を $a ， C$ が $B$ に勝つ確率を $b$ として，

$0 < a < b < 1$

とする．ただし，引き分けはないものとする． $C$ が $A ， B$ と次の $① ， ②$ のどちらかの型式で $3$ 回対戦することになった．

＼	$1$ 回戦	$2$ 回戦	$3$ 回戦
$①$	$A$	$B$	$A$
$②$	$B$	$A$	$B$

(ⅰ)　対戦形式 $①$ において $C$ が少なくとも $2$ 連勝する確率と，対戦形式 $②$ において $C$ が少なくとも $2$ 連勝する確率の大小を比較せよ．

(ⅱ)　 $C$ は $A$ に勝つと $2$ 点， $B$ に勝つと $1$ 点もらえ，負ければ点数をもらえないとする．ただし， $2$ 回戦， $3$ 回戦においてはその直前の試合に勝っているときに限りその回の得点を獲得できるとする．対戦形式 $① ， ②$ のそれぞれにおいて， $C$ の総得点の期待値を $E_{1} ， E_{2}$ とする． $E_{1} ， E_{2}$ を求め， $E_{1} > E_{2}$ となる $a ， b$ の条件を求めよ．

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【５】　曲線 $C$

$y = f (x) = \frac{1}{1 + x^{6}}$

について考える．

(ⅰ)　 $C$ 上の点 $P (s, f (s))$ における $C$ の接線と $y$ 軸との交点を $(0, t)$ とする． $P$ が $C$ 上を動くとき， $t$ の値の取り得る範囲を求めよ．

(ⅱ)　 $s > 0$ とする．点 $P$ と定点 $Q (0, 1)$ を結ぶ線分 $PQ$ が曲線 $C$ の下側にあるような $s$ の範囲を求めよ．

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