2001　早稲田大学　教育学部MathJax

【２】　座標空間における$3$点$\mathrm{A}(4,-1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,2,3)\text{，}\mathrm{C}(5,-4,0)$を頂点とする三角形の外心（外接円の中心）の座標を求めよ．

【３】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(1,t)$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$が，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円と交わる点を$\mathrm{Q}(x,y)$とする．次の問に答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を$t$の関数で表せ．

(2)　この円の$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(x,y)$間の弧$\mathrm{AQ}$の長さを$s=f(t)$とするとき，${\displaystyle \frac{ds}{dt}}$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とし，

$a_n=\sqrt{3}n({\displaystyle \frac{1}{3n^2+1^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3n^2+2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{3n^2+n^2}})$

$b_n=\sqrt{3}n({\displaystyle \frac{1}{3n^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3n^2+1^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{3n^2+{(n-1)}^2}})$

とおく．このとき

$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\text{，}f\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$

の大小関係を調べ，小さい順に並べよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$の値を求めよ．

【４】　次の関係式をみたす$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$がある．

$a_1=0\text{，}{b}_1=-1\text{，}{c}_1=0$

$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}-a_n& ={\displaystyle \frac{1}{4}}(b_n-2a_n)& \cdots \text{①}\\ b_{n+1}-b_n& ={\displaystyle \frac{1}{4}}(a_n+c_n-2b_n)& \cdots \text{②}\\ c_{n+1}-c_n& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\{b_n+1+{(-1)}^n-2c_n\}& \cdots \text{③}\\ & \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}& \end{array}$

　次の問に答えよ．

(1)　ある自然数$n$に対して，$|a_n|\leqq M\text{，}|b_n|\leqq 2M\text{，}|c_n|\leqq 3M$が成り立つとき，$|b_{n+1}|$と$2M$の大小を調べよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$|a_n|\leqq M\text{，}|b_n|\leqq 2M\text{，}|c_n|\leqq 3M$が成り立つような最小の実数$M$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$の値を求めよ．