2002　東北大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数であり，方程式

$x^4+(a+2)x^3-(2a+2)x^2+(b+1)x+a^3=0$

が解$x=1+i$をもつとする．ただし，$i=\sqrt{-1}$とする．このとき，$a\text{，}b$を求めよ．また，このときの方程式の他の解も求めよ．

【２】　$0°\leqq \theta \leqq 180°$として，$x$の関数$f(x)$を

$f(x)=x^2+{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}x-2\sin \theta$

と定める．$x$が整数を動くときの$f(x)$の最小値を$m(\theta )$とおく．

(1)　$\theta$が$\cos \theta \geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$をみたす場合に，$m(\theta )$が最小となる$\theta$の値を求めよ．

(2)　$m(\theta )$が最小となる$\theta$の値と，そのときの最小値を求めよ．

【３】　右の図のような格子状の道路がある．左下の$\mathrm{A}$地点から出発し，サイコロを繰り返し振り，次の規則にしたがって進むものとする．$1$の目が出たら右に$2$区画，$2$の目が出たら右に$1$区画，$3$の目が出たら上に$1$区画進み，その他の場合はそのまま動かない．ただし，右端で$1$または$2$の目が出たとき，あるいは上端で$3$の目が出たときは，動かない．また，右端の$1$区画手前で$1$の目が出たときは，右端まで進んで止まる．

　$n$を$7$以上の自然数とする．$\mathrm{A}$地点から出発し，サイコロを$n$回振るとき，ちょうど$6$回目に，$\mathrm{B}$地点に止まらずに$\mathrm{B}$地点を通り過ぎ，$n$回目までに$\mathrm{C}$地点に到達する確率を求めよ．ただし，サイコロのどの目が出るのも，同様に確からしいものとする．

【４】　$t\geqq 1$において，関数$f(t)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|(x-t+2)(x+t)|dx$を最小にする$t$の値と，そのときの最小値を求めよ．

【２】　$xy$平面上に，媒介変数$t$により表示された曲線

$C:x=e^t-e^{-t}\text{，}y=e^{3t}+e^{-3t}$

がある．

(1)　$x$の関数$y$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形を描け．

(2)　曲線$C\text{，}x$軸，$2$直線$x=\pm 1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　右の図のような格子状の道路がある．左下の$\mathrm{A}$地点から出発し，サイコロを繰り返し振り，次の規則にしたがって進むものとする．$1$の目が出たら右に$2$区画，$2$の目が出たら右に$1$区画，$3$の目が出たら上に$1$区画進み，その他の場合はそのまま動かない．ただし，右端で$1$または$2$の目が出たとき，あるいは上端で$3$の目が出たときは，動かない．また，右端の$1$区画手前で$1$の目が出たときは，右端まで進んで止まる．

　$n$を$8$以上の自然数とする．$\mathrm{A}$地点から出発し，サイコロを$n$回振るとき，ちょうど$6$回目に，$\mathrm{B}$地点以外の地点から進んで$\mathrm{B}$地点に止まり，$n$回目までに$\mathrm{C}$地点に到達する確率を求めよ．ただし，サイコロのどの目が出るのも，同様に確からしいものとする．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$は各辺の長さが$1$の正四面体とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=l\overrightarrow{\mathrm{AB}}+m\overrightarrow{\mathrm{AC}}+n\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で与えられる点$\mathrm{P}$に対し$\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{DP}}\right|$が成り立つならば，$l=m=n$であることを示せ．また，このときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$を$l$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のいずれとも異なる空間内の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を，四面体$\mathrm{PBCD}$と四面体$\mathrm{QABC}$がともに正四面体になるようにとるとき，$\cos \angle \mathrm{PBQ}$の値を求めよ．

【５】　$a>b>0$とし，$xy$平面の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$の第$1$象限の部分を$E$とする．ただし，第$1$象限には$x$軸と$y$軸は含まれない．$E$上の点$\mathrm{P}$における$E$の接線と法線が$y$軸と交わる点の$y$座標をそれぞれ$h$と$k$とし，$L=h-k$とおく．点$\mathrm{P}$が$E$上を動くとき，$L$の最小値が存在するための$a$と$b$についての条件と，そのときの$L$の最小値を求めよ．

【６】　$f_1(x)$は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数とする．$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$を次のように順次定義する．$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し

$F_{n-1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt$

とおいて

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)F_{n-1}(t)dt$

とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，すべての$x$に対して$f_n(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，すべての$x\geqq 0$に対して${f_n}^{\prime }(x)\geqq 0$であることを示せ．

(3)　${f_4}^{\prime }(1)=1$のとき，すべての$0\leqq x\leqq 1$に対して$f_1(x)=0$であることを示せ．

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