2002　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　座標空間内に定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．不等式

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$

を満たすような$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の全体からなる図形を$D$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0,0)$のとき，図形$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$\mathrm{A}(0,0,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(1,0,0)$のとき，図形$D$を$xy$平面上に図示し，その面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}(0,0,2\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$のとき，図形$D$の面積を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$xy$平面上の曲線

$y={(x-\alpha )}^2(x-\beta )$（$\alpha \text{，}\beta$は定数）

の変曲点の座標を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面上の曲線

$C:y=x^3-3x^2+ax+b$（$a\text{，}b$は定数）

を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$において$C$と交わり，$\mathrm{Q}$における$C$の接線が$\mathrm{Q}$と異なる点$\mathrm{R}$において$C$と交わっているとする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}r$とするとき，$p$を用いて$r$を表せ．

【３】　正の整数$n$に対し，関数$f_n(x)$を次式で定義する．

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{(x-t)}^n{e}^{t}dt$（$e$は自然対数の底）

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$f_n(x)-n{f}_{n-1}(x)$を求めよ．

(3)　$f_n(x)-{f_n}^{\prime }(x)$を求めよ．ここで${f_n}^{\prime }(x)$は$f_n(x)$の導関数を表す．

(4)　$n\geqq 2$のとき，$f_n(x)$を続けて$(n-1)$回微分して得られる関数を求めよ．