2002　新潟大学　前期MathJax

【１】　連立不等式$y\leqq 2-x^2\text{，}y\geqq x\text{，}x\geqq 0$の表す領域を$C$とする．

$f(x)=k+1-k{x}^2$（$k$は実数）

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の面積を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフは，$k$の値によらずつねに定点を通ることを示せ．

(3)　$k>0$のとき，連立不等式$y\leqq f(x)\text{，}y\geqq x\text{，}x\geqq 0$の表す領域を$D$とする．この$D$の面積が，$C$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるような$k$の値を求めよ．

【２】　$x\text{，}y$は次の不等式

$0<x\text{，}0<y\text{，}y\leqq x^2\text{，}{({\log }_{2}xy)}^2\leqq ({\log }_{2}x)({\log }_2{y}^2)+20$

をすべて満たしているとする．$X={\log }_{2}x\text{，}Y={\log }_{2}y$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(X,Y)$の存在する範囲を$XY$平面に図示せよ．

(2)　${\log }_{2}xy$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$X\text{，}Y$の値を求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)=x^2-2(k-1)x+4k+1$（$k$は実数）について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が虚数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x=a+bi$（$a\text{，}b$は実数）が$2$次方程式$f(x)=0$の虚数解のとき，$a$と$b^2$を$k$で表せ．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$の虚数解すべての集合を複素数平面上に図示せよ．

【４】　$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(5,0,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(3,1,0)\text{，}\overrightarrow{c}=(0,0,2)$について，

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$（$s\text{，}t$は実数）

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$s$を固定したとき，$\left|\overrightarrow{d}\right|$が最小となる$t$の値を求めよ．

(2)　$s\text{，}t$がすべての実数を動くとき，$\left|\overrightarrow{d}\right|$が最小となる$s\text{，}t$の値を求め，そのときの，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$のなす角を求めよ．

【１】　放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$上の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における接線が直交するとし，$\mathrm{P}$の座標を$(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})\text{（}a>0\text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標，および，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結ぶ直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$と直線$l$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.

【２】　$A^2+A+E=O$を満たす$2$次の正方行列$A$について，次の問いに答えよ．ただし，$E\text{，}O$はそれぞれ単位行列，零行列とする．

(1)　$aA+\beta E=O$を満たす実数$\alpha \text{，}\beta$が存在するならば，$\alpha =\beta =0$となることを示せ．

(2)　${(xA+yE)}^3=E$を満たす実数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)=x^2+(k-1)x+3k-2$（$k$は実数）について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が虚数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x=u+iv$（$u\text{，}v$は実数）が$2$次方程式$f(x)=0$の虚数解のとき，$u$と$v$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$k$が$0$以上のすべての実数値をとるとき，$2$次方程式$f(x)=0$の解（実数解および虚数解）すべての集合を複素数平面上に図示せよ．

【４】　袋の中に赤玉$4$個と白玉$6$個が入っている．$3$個を同時に袋から取り出し，取り出された赤玉の個数を記録してから袋に戻す．この試行を$n$回くり返したとき，記録された赤玉の個数の合計が奇数である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．ただし，数値はすべて$10$進数とする．

(1)　$7^{12}$の$1$の位を求めよ．

(2)　$n$が自然数のとき，${117}^n$の$1$の位は，$1\text{，}3\text{，}7\text{，}9$のいずれかであることを証明せよ．

(3)　${117}^{2002}$の$1$の位を求めよ．

【６】　座標平面上の$2$定点$\mathrm{A}(\sqrt{2},0)\text{，}\mathrm{B}(-\sqrt{2},0)$に対し，条件$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=2$を満たして動く点$\mathrm{P}(x,y)$を考える．

$x=r\cos \theta \text{，}y=r\sin \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}r>0)$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r^2=4\cos 2\theta$が成り立つことを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，このときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．