2002　金沢大学　前期MathJax

(1)　$f(x)\leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　$a>0$とするとき，${\displaystyle {\int }_{-a}^a}f(x)dx>0$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$f(x)=x^3-6x^2-96x-80$とする．$x\geqq 14$ならば$f(x)>0$となることを示せ．

(2)　自然数$a$に対して，

$b={\displaystyle \frac{9a^2+98a+80}{a^3+3a^2+2a}}$

とおく．$b$も自然数となるような$a$と$b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(1)　複素数$\alpha$が方程式$f(z)=0$の解ならば，$\alpha$と共役な複素数$\bar{\alpha }$も解であることを示せ．

　以下では，$\alpha$は虚部が正で絶対値が$1$より大きい複素数とし，$\alpha \text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$がともに方程式$f(z)=0$の解になっているものとする．

(2)　方程式$f(z)=0$の$\alpha$と異なる解のうち，虚部が正であるものを$\beta$とする．複素数平面において，点$\alpha$と点$\beta$が直径の両端となる円を$C$とする．$C$の中心と半径を，$\alpha$の絶対値$r$と偏角$\theta$を用いて表せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から(2)の円$C$へ接線をひき，接点の$1$つを$w$とする．$w$の絶対値を求めよ．

(1)　$l$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　直線$x=-1$と直線$l$および曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$x$軸と直線$l$および曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$を求めよ．

(3)　直線$l$と直線$x=-1$の交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$の中点となるならば，$S_1=2S_2$が成り立つことを示せ．

$A\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{1+3x^2}& 3x\\ x& \sqrt{1+3x^2}\end{array}\right)\text{，}B=A\left(1\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$

と定める．

(1)　$x>1$のとき，$0<y<x$であって$A(x)=A(y)B$を満たす実数$y$が存在することを示せ．

(2)　行列$A(x)$の各成分が自然数であるとする．このとき，$A(x)=B^n$となる自然数$n$が存在することを示せ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は相異なる$4$点であることを示せ．

(2)　直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{RS}$が直交しているとする．このとき，$r$を$\theta$の関数として表し，$\theta$の動きうる区間$(\alpha ,\beta )$を求めよ．

(3)　(2)において，原点と点$\cos \beta +i\sin \beta$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{P}$と$l$の距離を$d$とする．$\theta \to \beta$のとき，$d$は$0$に収束することを示せ．

(1)　すべての正の数$x\text{，}y$に対して，不等式

$x(\log x-\log y)\geqq x-y$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$x=y$の場合に限ることを示せ．

(2)　正の数$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$が${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i=1$を満たしているとき，不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i\log x_i\geqq \log {\displaystyle \frac{1}{n}}$

が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$x_1=\cdots =x_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$の場合に限ることを示せ．