2002　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2^n$が$10$桁の数となるような自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+ax+a=0$が異なる$2$つの実数の解をもち，その絶対値が$1$より小さい．このような実数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$y=x^2{e}^{-x}$の増減を調べ，極値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人でじゃんけんを$1$回行う．石（グウ），はさみ（チョキ），紙（パア）で勝つとそれぞれ勝者が敗者から$1\text{，}2\text{，}3$円受け取り，引き分けのときは支払いはない．$\mathrm{A}$は石，はさみ，紙をそれぞれ確率$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$で，$\mathrm{B}$は$q_1\text{，}{q}_2\text{，}{q}_3$で出すとする．

(1)　$\mathrm{A}$が受け取る額の期待値$E$を$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2$で表せ．ただし，たとえば$\mathrm{A}$がはさみ，$\mathrm{B}$が石を出せば，$\mathrm{A}$の受け取る額は$-1$円と考える．

(2)　$\mathrm{B}$の確率$q_1\text{，}{q}_2\text{，}{q}_3$の値にかかわらず$E$が$0$円となるときの$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

【３】(1)　すべての正の実数$x$に対して，不等式$e^x>1+x$が成り立つことを示せ．ただし，$e=2.718\cdots$は自然対数の底とする．

(2)　すべての正の実数$x$に対して，無限級数

${\displaystyle \frac{e^x-1}{e^x}}+{\displaystyle \frac{(e^x-1)(1+x)}{e^{2x}}}+{\displaystyle \frac{(e^x-1){(1+x)}^2}{e^{3x}}}+{\displaystyle \frac{(e^x-1){(1+x)}^3}{e^{4x}}}+\cdots$

が収束することを示し，その和$S(x)$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}S(x)dx$を求めよ．

【４】　曲線$y=x^2-ax\text{（}a>0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1\text{，}y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．このとき，$V_1=V_2$となるように定数$a$の値を求めよ．