2002　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とするとき，$3$つの数$a=\sqrt[5]{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}-1\text{，}b=1-\sqrt[5]{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{1}{5n}}$の大きさを比較せよ．

【２】　次の様に円$C_n$を定める．まず，$C_0$は$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円，$C_1$は$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円とする．次に$C_0\text{，}{C}_1$に外接し$x$軸に接する円を$C_2$とする．さらに，$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$に対し，順に，$C_n\text{，}{C}_{n-1}$に外接し$x$軸に接する円で$C_{n-2}$でないものを$C_n$とする．$C_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$の中心の座標を$(a_n,b_n)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$つの円が外接するとは，中心間の距離がそれぞれの円の半径の和に等しいことをいう．

(1)　$n\geqq 1$に対し，$b_n={\displaystyle \frac{{a_n}^2}{2}}$を示せ．

(2)　$a_n$を求めよ．

【３】(a)　 $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=t$とおく．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t=2$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【３】(b)　辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=10\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{AC}=8$の$▵\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を，$▵\mathrm{APQ}$の面積が$▵\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるようにとる．

(1)　$2$辺の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{AQ}$を$u$とおく．$▵\mathrm{APQ}$の周の長さ$l$を$u$を用いて表せ．

(2)　$l$が最小となるときの$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{AQ}\text{，}l$の値を求めよ．

【３】(b)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$および列ベクトル$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\right)=P^2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\cdots \text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=P^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\cdots$を考える．

(1)　点$(1,1)$と点$(a_1,b_1)$の距離$d_1$を求めよ．

(2)　平面上の$2$点$(x,y)\text{，}(z,w)$間の距離を$s$とする．$2$点$({\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}y,{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}y)\text{，}({\displaystyle \frac{2}{3}}z-{\displaystyle \frac{1}{2}}w,{\displaystyle \frac{1}{2}}z+{\displaystyle \frac{2}{3}}w)$間の距離$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　点$(a_{m-1},b_{m-1})$と点$(a_m,b_m)$の距離$d_m\text{（}m=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【１】(1)　$x$を正数とするとき，$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$と${\displaystyle \frac{1}{x+1}}$の大小を比較せよ．

(2)　${(1+{\displaystyle \frac{2001}{2002}})}^{\frac{2002}{2001}}$と${(1+{\displaystyle \frac{2002}{2001}})}^{\frac{2001}{2002}}$の大小を比較せよ．

【２】　$a\text{，}b$を正数とし，$xy$平面で不等式

${\displaystyle \frac{{\{x-(1-a)\}}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}\leqq 1$

の表す領域$D$と，不等式$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域$E$を考える．

(1)　$a=2\text{，}b=1$の場合に，領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$が$E$に含まれるための$a\text{，}b$の条件を求め，$ab$平面上でその条件を表す領域を図示せよ．

【３】　$f(x)$を実数全体で定義された連続関数で，$x>0$で$0<f(x)<1$を満たすものとする．$a_1=1$とし，順に，

$a_m={\displaystyle {\int }_0^{a_{m-1}}}f(x)dx\text{（}m=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

により数列$\{a_m\}$を定める．

(1)　$m\geqq 2$に対し，$a_m>0$であり，かつ$a_1>a_2>\cdots >a_{m-1}>a_m>\cdots$となることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2002}}>a_m$となる$m$が存在することを背理法を用いて示せ．

【４】(a)　関係式

$x^a=y^b=z^c=xyz$

を満たす$1$とは異なる$3$つの正の実数の組$(x,y,z)$が，少なくとも$1$組存在するような，正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．ただし，$a\leqq b\leqq c$とする．

【４】(b)　次の問いに答えよ．ただし，偏角$\theta$は，$0°\leqq \theta <360°$の範囲で考えるものとする．

(1)　$|z+i|=|z-i|$を満たす複素数$z$は，実数に限ることを示せ．

(2)　複素数平面上で$z$が実軸上を動くとき，複素数$z+i$の偏角$\arg (z+i)$の動く範囲を求めよ．

(3)　$z$を未知数とする方程式${(z+i)}^9={(z-i)}^9$のすべての解$z$について$z+i$の偏角$\arg (z+i)$を求めよ．