2002　佐賀大学　前期

【１】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が初項$a_1=1\text{，}$$b_1=1$であり，また

$a_{n+1}=2a_n+b_n+2$

$b_{n+1}=a_n+2b_n$

の関係を満たしているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n$で定めたとき，その一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n]$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【２】　$p$を正の定数とする．関数

$f(x)=x^2-3(p+1)x^2+12px$

の$x\geqq 0$における最小値を求めよ．

【３】　複素数$z$についての次の方程式を解き，その解を複素数平面上に図示せよ．

${(z-i)}^4=-2-2\sqrt{3}i$

ただし，$i$は虚数単位とする．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標空間の$2$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,3,4)$を通る直線$g$が，$yz$平面と交わる点を$\mathrm{C}$とする．直線$g$上の点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$を順次，次のように定める．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_0$は，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の間にあり，$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_0}$が単位ベクトルである．

(ⅱ)　点${\mathrm{P}}_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$は，線分$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{i-1}$を$3:1$の比に外分する点である．

　次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_0$の座標を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_0}$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさを求めよ．

【２】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は，次の式を満たすものとする．

$f(x)={\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{x+2}}}\text{，}$$g(x)=3x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x+t)g(t)\mathit{dt}$

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$b={\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)\mathit{dt}\text{，}$$c={\displaystyle {\int }_{-1}^1}tg(t)\mathit{dt}$とおいて，$g(x)$を$b\text{，}$$c$で表せ．さらに，$b\text{，}$$c$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$が正の数で，$a\ne 1$のとき，

${\log }_a(4+3x-x^2)-{\log }_a(2x-1)>{\log }_{a}2$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　$4^x-6^x-2\cdot 9^x\geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．

【４】　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は平行でなく，$\overrightarrow{0}$でもないとする．座標平面の原点$\mathrm{O}$を通り$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$に平行な直線上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は媒介変数$t$を使って

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(t-1)\overrightarrow{b}$

と表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を固定して$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線$l_1$上の点$\mathrm{M}$を，$s$を媒介変数とするベクトル方程式で表せ．

(2)　$t$と$h$$\text{（}h\ne 0\text{）}$を固定して$2$直線$l_t\text{，}$$l_{t+h}$の交点を$\mathrm{R}$としたとき，$\mathrm{R}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t\text{，}$$h$で表せ．

(3)　交点$\mathrm{R}$の座標を$(X,Y)$とおき，$m$を正定数として$\overrightarrow{a}=(1,m)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,-m)$とおく．ここで$h\to 0$としたときの座標の極限値$\underset{h\to 0}{\lim }X\text{，}$$\underset{h\to 0}{\lim }Y$を求めよ．

(4)　$X(t)=\underset{h\to 0}{\lim }X\text{，}$$Y(t)=\underset{h\to 0}{\lim }Y$とおいて$t$を変化させたとき，点$(X(t),Y(t))$が描く軌跡を求めよ．

(5)　$l_t$はこの軌跡に接することを示せ．

【２】　$\theta$の範囲が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$であり，$x=\sin \theta +\cos \theta$とする．

(1)　$x=0$となる$\theta$の値を求めよ．

(2)　$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$を実数とするとき，$y=a\sin \theta -\sin \theta \cos \theta +a\cos \theta$を$a\text{，}$$x$を用いて表せ．

(4)　$y$の最小値を求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}$$(0,0)$を通る直線$m$が次式で与えられている．

$m\text{：}x\sin \theta -y\cos \theta =0$

ただし$45\mathrm{°}<\alpha <135\mathrm{°}$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$$(2,2)$を通り，直線$m$に直交する直線$n$の方程式を求めよ．

(2)　直線$m$と直線$n$との交点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$\alpha$で表せ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を$\alpha$で表せ．

(5)　面積$S$が最大となるときの$\alpha$を求めよ．