2002　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　$\theta$は$-90\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$の範囲にあるとして，次の各問いに答えよ．

(1)　不等式$|\tan \theta |<{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$x$に関する方程式$3^x-3^{-x}=2\tan \theta$の解を$3$を底とする対数を用いて表せ．

(3)　(2)にある方程式の解が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$\theta$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=-x+2{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)\sin t\mathit{dt}$と$y=f(x)$が表す曲線$C$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を積分を含まない形で表せ．

(2)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲における極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$における$C$の法線$L$を表す方程式$y=g(x)$を求め，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲では$f(x)\leqq g(x)$であることを示せ．

(4)　$L$と$C$および$y$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【３-１】　$a\text{，}$$b$は自然数とする．$a$を$8$で割った余りを$r\text{，}$$b$を$8$で割った余りを$s$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$a+b$を$8$で割った余りと$r+s$を$8$で割った余りが等しいことを示せ．

(2)　$a^2$を$8$で割った余りと$r^2$を$8$で割った余りが等しいことを示せ．

(3)　平方数を$8$で割ったとき，余りとしてえられる数をすべて求めよ．ただし，平方数とは自然数の平方となっている数のことである．

(4)　$2$つの平方数の和を$8$で割ると余りは$3$にはならないことを示せ．

【３−２】　数列$\{a_n\}$は$a_1=6\text{，}$$a_{n+1}=a_n+16n+8$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$により定まるものとして，次の各問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　次の等式が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3={\displaystyle \frac{n^2{(n+1)}^2}{4}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　和$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +n{a}_n$を求めよ．

【３-３】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵PQR}$の辺$\mathrm{QR}$上の点$\mathrm{S}$が$\overline{\mathrm{PQ}}:\overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{QS}}:\overline{\mathrm{SR}}$を満たすとき，$\mathrm{\angle QPS}=\mathrm{\angle RPS}$が成り立つことを証明せよ．ただし，$\overline{\mathrm{PQ}}$は線分$\mathrm{PQ}$の長さを表すものとし，他も同様とする．

(2)　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}\text{，}$$\overline{\mathrm{AD}}<\overline{\mathrm{BC}}$を満たす台形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$は$\overline{\mathrm{BA}}:\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BF}}:\overline{\mathrm{BC}}\text{，}$$\mathrm{AF}⫽\mathrm{DC}$を満たしているとする．このとき，$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{G}$とすると，$\mathrm{▵BAG}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

(3)　(2)の条件のもとで，辺$\mathrm{AD}$上の点$\mathrm{E}$は$\overline{\mathrm{BA}}:\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{AE}}:\overline{\mathrm{ED}}$を満たしているとする．このとき，$\mathrm{BE}$と$\mathrm{AF}$は直交することを証明せよ．

【４-１】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一直線上にないとし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の長さはそれぞれ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=8\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=7$とする．点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点とする．また，$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s\text{，}$$t$を求めよ．

【４-２】　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$はいずれも$0$でない複素数として，次の各問いに答えよ．ただし，複素数$z$に対して，$\bar{z}$は$z$の共役複素数，$\left|z\right|$は$z$の絶対値を表す．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$が正の実数ならば，$|\alpha +\beta |=\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$が成り立つことを示せ．

(2)　$\gamma +\bar{\gamma }=2\left|\gamma \right|$が成り立つならば，$\gamma$は正の実数であることを示せ．

(3)　$|\alpha +\beta |=\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$が成り立つならば，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$は正の実数であることを示せ．

【４-３】　$1$から$n$$\text{（}n>3\text{）}$までの数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n$を$1$つずつ書いた$n$枚のカードが入っている箱の中から，同時に$2$枚のカードを取り出す．この$2$枚のカードに書いてある数字を$X\text{，}$$Y$$\text{（}X>Y\text{）}$とする．いま，自然数$s\text{，}$$t$は$1\leqq s<t\leqq n$を満たしているとして，次の各問いに答えよ．

(1)　次の各確率を求めよ．

(a)　$X=t$かつ$Y=s$である確率$P(X=t,Y=s)$

(b)　$X=t$である確率$P(X=t)$

(c)　$Y=s$である確率$P(Y=s)$

(d)　$X=3Y$である確率$P(X=3Y)$

(2)　$X\text{，}$$Y$の平均をそれぞれ$E(X)\text{，}$$E(Y)$とするとき，$E(X)+E(Y)$を求めよ．

【５-１】　行列$M$は等式$3(2E-M)=AB-M+A$を満たしている．ただし，$A=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 3& 4\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}-9& 20\\ 7& -17\end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

　このとき，次の文中にある空欄$\text{( )}$に適する行列および数を求め，その結果だけを解答用紙の所定の解答欄に記入せよ．

(1)　行列$M$を求めると$M=\text{( ア )}$である．

(2)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$は$(M-\alpha E)M=\beta (M-\alpha E)\text{，}$$\alpha \leqq \beta$を満たしている．このとき，$\alpha =\text{( イ )}\text{，}$$\beta =\text{( ウ )}$である．

(3)　実数$u$は$M^5-\alpha M^4=u(M-\alpha E)$を満たしているとすると，$u=\text{( エ )}$である．ただし，$\alpha$は(2)で求めた数である．

【５-２】　次の文中にある空欄$\text{( )}$に適する数を求め，その結果だけを解答用紙の所定の解答欄に記入せよ．

(1)　点$(1,1)$と直線$y=-2$からの距離が等しい点の軌跡は放物線であり，その方程式は$y=a{x}^2+bx-{\displaystyle \frac{1}{3}}$である．このとき，$a=\text{( ア )}\text{，}$$b=\text{( イ )}$である．

(2)　$2$点$(3,0)\text{，}$$(-1,0)$からの距離の和が$12$である点の軌跡は楕円であり，その方程式は${\displaystyle \frac{{(x-r)}^2}{p}}+{\displaystyle \frac{y^2}{q}}=1$である．このとき，$p=\text{( ウ )，}$$q=\text{( エ )，}$$r=\text{( オ )}$である．

【５-３】　関数$f(x)$の区間$[a,b]$$\text{（}a<b\text{）}$における定積分の近似値として，$[a,b]$を$n$等分してえられる，次の$A_n\text{，}$$B_n\text{，}$$T_n$を考える．

$A_n={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}}f(x_j)h\text{，}$$B_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}f(x_j)h\text{，}$$T_n={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{f(x_j)+f(x_{j+1})}{2}}h$

ただし，$h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}\text{，}$$x_j=a+jh$$\text{（}j=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$である．このとき，次の文中にある空欄$\text{( )}$に適する数または式を求め，その結果だけを解答用紙の所定の解答欄に記入せよ．

(1)　$T_n$を$A_n\text{，}$$B_n$を用いて表すと$T_n=\text{( ア )}$である．

(2)　関数$f(x)=x^2$の$[0,1]$における定積分の近似値$A_n\text{，}$$B_n\text{，}$$T_n$を$n$を用いて表すと$A_n=\text{( イ )}\text{，}$$B_n=\text{( ウ )}\text{，}$$T_n=\text{( エ )}$である．また，近似値$T_n$による相対誤差が$0.01$以下になるような分割の数$n$の最小値は$\text{( オ )}$である．ただし，真の値$S$の近似値$s$による相対誤差は$\left|{\displaystyle \frac{s-S}{S}}\right|$である．

【５-４】　$2$つの変量$x\text{，}$$y$の値からなる$N$個の資料$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}$$(x_N,y_N)$がある．この資料による$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とし，標準偏差をそれぞれ${\sigma }_x\text{，}$${\sigma }_y$とする．また，${\sigma }_{xy}\text{，}$$E(x^2)$および$E(xy)$を次で定める．

${\sigma }_{xy}={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{k=1}^N}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})\text{，}$$E(x^2)={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{k=1}^N}{x}_k^2\text{，}$$E(xy)={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{k=1}^N}{x}_k{y}_k$

このとき，次の文中にある空欄$\text{( )}$に適する式を求め，その結果だけを解答用紙の所定の解答欄に記入せよ．

(1)　${\sigma }_x$を$\bar{x}$および$E(x^2)$を用いて表すと${\sigma }_x=\text{( ア )}$である．

(2)　${\sigma }_{xy}$を$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$および$E(xy)$を用いて表すと${\sigma }_{xy}=\text{( イ )}$である．

(3)　$x$と$y$の相関係数$r$を${\sigma }_x\text{，}$${\sigma }_y$および${\sigma }_{xy}$を用いて表すと$r=\text{( ウ )}$である．ただし，${\sigma }_x{\sigma }_y\ne 0$とする．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{k=1}^N}{(y_k-t{x}_k-1)}^2$の値を最小にする実数$t$の値を$\bar{x}\text{，}$$E(x^2)$および$E(xy)$を用いて表すと$t=\text{( エ )}$である．ただし，$E(x^2)\ne 0$とする．

【１】　曲線$y={(x-2)}^2$上の点$\mathrm{P}$$(t,{(t-2)}^2)$と$y$軸上の点$\mathrm{Q}$$(0,{(t-2)}^2)$を考える．ただし，$t$は$0<t<2$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に接する．この$f(x)$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と$C$によって囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が上に指定してある範囲を変化するとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．