2002　学習院大学　理学部MathJax

【１】　次の操作を繰り返して，点$\mathrm{P}$を数直線上で移動させる．

　このとき

(1)　$2$回の操作で点$\mathrm{P}$が出発点に戻る確率を求めよ．

(2)　$3$回目の操作が終わったとき，点$\mathrm{P}$が出発点にある確率を求めよ．

【２】　 $0$でない実数$a\text{，}b\text{，}c$に対し，$2$次方程式

$a{x}^2+bx+c=0$

の解を$\alpha \text{，}\beta$とおく．${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\text{，}{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を$2$つの解とする$2$次方程式を

$t^2+pt+q=0$

とする．

(1)　$p\text{，}q$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$が虚数になる条件は，方程式$t^2+pt+q=0$が虚数解を持つことであることを示せ．

(3)　複素数平面上で，$3$点$0\text{，}{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\text{，}{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$が正三角形を作る条件は，

$b^2=(2\pm \sqrt{3})ac$

であることを示せ．

【３】　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(ax-\sin x)}^{2}dx$

を最小にする実数$a$と，そのときの定積分の値を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$と自然数$n$に対して，

$A+A^2+\cdots +A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

とおく．

(1)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を$n$を使って表せ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$の極限値をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とする．行列

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

を求めよ．

【５】　自然数$n$に対し，$xy\leqq n$を満たす自然数の組$(x,y)$を考える．

　このような組の総数を$C$とする．

　これらすべての組$(x,y)$について$x+y$を求め，それらを足したものを$S$とする．

(1)　$C$と$S$を求める次の$\mathrm{BASIC}$プログラムを完成させよ．

100 INPUT N

110 C=0

120 S=0

$\cdots$

$\cdots$

(2)　$n=10$のとき$C\text{，}S$はいくつか．