2002　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(1)　関数$y=2x^3-9x^2+12x+3\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$は，$x=\boxed{\text{(ア)}}$で最大値$\boxed{\text{(イ)}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(2)　$\cos 15°$の値は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．また，$a$を正の整数とするとき，$a\times {(\cos 15°)}^4$の整数部分が$1$であるような$a$の値は$a=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(3)　不等式$9^x+1\leqq 3^{x+1}+3^{x-1}$をみたす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{(オ)}}\leqq x\leqq \boxed{\text{(カ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(4)　方程式$x^2+y^2-4x-6y+12=0$の表す図形を$C$とする．この方程式を

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2\text{（}r>0\text{）}$

の形に変形すると，$r^2=\boxed{\text{(キ)}}$となる．また，点$\mathrm{P}$が図形$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(5,7)$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$の長さの最小値は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(5)　$i$を虚数単位とし，$a\text{，}b$を実数とする．$2$つの複素数${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{2}}$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=\boxed{\text{(ケ)}}\text{，}b=\boxed{\text{(コ)}}$である．つぎに，$4$次式$F(x)$を$F(x)=x^4-2x^3+3x^2-3x+2$と定める．このとき，

$F\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\right)=\boxed{\text{(サ)}}$

である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(6)　整式$f(x)$は，すべての$x$に対して

$(x+1)f(x+1)-(x-1)f(x-1)=x^2+x+1$

をみたすとする．このとき，整式$f(x)$の次数$n$は$n=\boxed{\text{(シ)}}$であり，また，$f(0)=\boxed{\text{(ス)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(7)　$x\text{，}y$を正の整数とする．$n$を正の整数とし，不等式$y\leqq n^2-x^2$をみたす集合の要素の個数を$S_n$とする．$n=4$のとき，$S_4=\boxed{\text{(セ)}}$となる．また，一般の$n$については，$S_n=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(8)　硬貨を$3$回投げるとき，ちょうど$1$回表が出る確率は$\boxed{\text{(タ)}}$である．次に，$1$から$6$までの目をもつサイコロを$1$個用意する．そして，このサイコロを振って出た目の回数だけ硬貨を投げるとき，ちょうど$1$回表が出る確率は$\boxed{\text{(チ)}}$である．

【２】　関数$y=x^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$の表す曲線を$C$とする．点$\mathrm{A}(2,1)$を通り傾きが$a$の直線$l$は曲線$C$と共有点をもたないとし，点$\mathrm{A}$において直線$l$に垂直に交わる直線を$m$とする．次の問いに答えなさい．なお，解答欄には最も適する数または式を記入しなさい．

(1)　直線$l$の方程式，および直線$l$の傾き$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　直線$m$と曲線$C$の共有点の座標$(X,Y)$を$a$で表せ．

(3)　$a=1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$m$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の内部の点を$\mathrm{P}$とし，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CP}}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+3\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとする．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABP}$の面積を$S_1$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

（3)　線分$\mathrm{QC}$の長さを$d_1$とし，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$d_2$とするとき，${\displaystyle \frac{d_1}{d_2}}$の値を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．${(a+b)}^n$を二項定理によって展開した式の各項の係数がすべて奇数になるのはどのような$n$かを調べたい．$1$番目にこのことが起きるのは$n=1$のときであり，$2$番目にこのことが起きるのは$n=3$のときである．次の問いに答えなさい．

(1)　$3$番目にこのことが起きる$n$を求めよ．

(2)　$k$番目に${(a+b)}^n$の展開式の各項の係数がすべて奇数となる$n$を$k$で表せ．