2002　上智大学　理工(数)学部2月12日実施MathJax

【１】　次の関係式で定められる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{，}\{z_n\}$を考える．

$x_1=2\text{，}{y}_1=1\text{，}{z}_1=3$

$x_{n+1}=x_n(y_n-z_n)\text{，}{y}_{n+1}=y_n(x_n-z_n)\text{，}{z}_{n+1}=(x_n-z_n)(y_n-z_n)$

$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

(1)　$x_{n+2}\text{，}{y}_{n+2}\text{，}{z}_{n+2}$の各々を$x_n\text{，}{y}_n\text{，}{z}_n$を使って表せ．

(2)　$n\geqq 1$に対し，$5x_n-16y_n+2z_n=0$が成立することを示せ．

(3)　$n\geqq 1$に対し，$x_n\ne 0$が成立することを示せ．

【２】　座標空間で考える．$xy$平面上の放物線$y=x^2$を$y$軸の周りに$1$回転してできる曲面を$K$とし，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}},0)$および点$(-{\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{3}}},0,0)$を通り$xy$平面に垂直な平面を$H$とする．さらに曲面$K$と平面$H$によって囲まれる立体を$V$とする．

(1)　立体$V$と平面$z=t$との共通部分の面積$S\left(t\right)$を$t$の式で表せ．

(2)　立体$V$の体積を求めよ．

【３】(1)　$10$から$15$までの自然数を，連続した$2$個以上の自然数の和としてそれぞれ表せ．

(2)　自然数$n$が$2$の累乗でなければ，つまり$n=2^m(2l+1)\text{，}m\geqq 0\text{，}l\geqq 1$と表されるならば，$n$は連続した$2$個以上の自然数の和として表されることを証明せよ．

(3)　自然数$n$が$2$の累乗ならば，つまり$n=2^m\text{，}m\geqq 1$ならば，$n$は連続した$2$個以上の自然数の和として表せないことを証明せよ．