2002　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】

(1)　$\{\begin{array}{l}8\cdot 3^x-3^y=-27\\ {\log }_2(x+1)-{\log }_2(y+3)=-1\end{array}$

のとき$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　${\displaystyle {\int }_0^4}|x^2-5x+6|dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{3}}$である．

【１】

(3)　$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}=-2a_n+15$のとき

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i>{10}^3$

となる最小の$n$は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(4)　サイコロを$3$個投げるとき$1$の目も$2$の目も出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{36}}$である．

【２】　点$(0,-2t+11)$を中心として半径$2$の円を$S$とし，点$(t-13,0)$を中心として半径$r$の円を$T$とする．ただし$r$は自然数とする．

(1)　円$S$と円$T$の中心がもっとも近づくのは$t=\boxed{\text{カ}}$のときで，その距離は$\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(2)　どのような実数$t$に対しても，円$S$と円$T$が共有点をもたないような自然数$r$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　$t=10$のとき，円$S$が円$T$の内部にあるような自然数$r$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【３】　複素数平面において，原点を通らない直線の方程式は，$0$でない複素数$\alpha$を用いて

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=2$

と表すことができる．

(1)　点$\mathrm{A}(1)$と点$\mathrm{B}(\sqrt{3}i)$を通る直線$L$の方程式を

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=2$

と表すとき，複素数$\alpha$は

$\alpha =\boxed{\text{コ}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}}i$

である．したがって${|\alpha |}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{3}}$である．

(2)　直線$L$と複素数$\alpha$は(1)のものとする．点$\mathrm{Q}(\omega )$を与えるとき，点$\mathrm{Q}$と直線$L$に関して対称な点${\mathrm{Q}}^{\prime }({\omega }^{\prime })$は

${\omega }^{\prime }=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{2}}i)\bar{\omega }+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{2}}i$

である．

【４】　三角形の重心，外心（外接円の中心），垂心は一直線上にあることが知られている．この事実を具体的な三角形において確認しよう．

　三角形$\mathrm{OAB}$の各辺の長さが$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{AB}=\sqrt{17}$として，いま

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とする．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\boxed{\text{チ}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とすれば

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$

である．

(3)　頂点$\mathrm{O}$から対辺$\mathrm{AB}$へ垂線を引き，この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$が一直線上にあることと，条件$\overrightarrow{\mathrm{P}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$から

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{17}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{17}}\overrightarrow{b}$

である．さらに，三角形$\mathrm{OAB}$の垂心$\mathrm{H}$が直線$\mathrm{OP}$上にあることと，条件$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$から

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\overrightarrow{b}$

である．

(4)　次に，三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{R}$とし，実数$p\text{，}q$によって

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$

と表されているとする．条件$\mathrm{OR}=\mathrm{AR}=\mathrm{BR}$から

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{64}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{64}}\overrightarrow{b}$

である．ゆえに$\overrightarrow{\mathrm{RH}}=\boxed{\text{ハ}}\overrightarrow{\mathrm{RG}}$となり，点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{G}$は一直線上にあることがわかる．