2002　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の空欄にあてはまる適当な数値等を解答欄に記入せよ．

　$x$の$2$次関数

$f(x)=3x^2+bx+c$

が，任意の角$\theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}\text{）}$に対して

$f(2\sin \theta )\geqq 0\text{，}f(3-\cos \theta )\leqq 0$

をみたす．このとき，$2b+c=\boxed{\text{ア}}$で，$b$の取り得る最大の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

　さらに，$f(2\cos \theta )\text{（}60\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 135\mathrm{°}\text{）}$の最小値が$10$ならば，$(b,c)=\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　座標平面上の，$x\text{，}y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．$\mathrm{P}$は，はじめ原点$\mathrm{O}$にあり，格子点の上を終点$\mathrm{T}$まで動く点とする．また，十分多くのカードの束があり，それぞれのカードには$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$のうちの$1$つの文字が書かれている．各格子点でカードを$1$枚ずつ上から順にひく．動点$\mathrm{P}(i,j)$は，次の$3$つの規則にしたがって，その点にとどまるか，または，終点$\mathrm{T}(m,n)$に向かって進む．

このとき，次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

1.　終点$\mathrm{T}$が$(2,4)$で，カードの束がすべて$\mathrm{A}$からなっているとき，原点$\mathrm{O}$から終点$\mathrm{T}$に至る道順は，$\boxed{\text{ア}}$通りである．

2.　カードの束が$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\cdots$と交互に並んでいるとする．このとき，終点$\mathrm{T}$が$(3,5)$ならば，動点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から終点$\mathrm{T}$に至るまでには，$\boxed{\text{イ}}$回カードをひく必要がある．また，終点$\mathrm{T}$が$(m,n)$（ただし，$m>n$）のときは，$\boxed{\text{ウ}}$回カードをひく必要がある．

3.　カードの束のはじめの$2$枚が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}$で，$3$枚目からは，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\cdots$と交互に並んでいるとする．このとき，終点$\mathrm{T}$が$(4,5)$ならば，動点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から終点$\mathrm{T}$に至るまでには，少なくとも$\boxed{\text{エ}}$回カードをひく必要がある．

【３】　$a\text{，}b$を正の数とし，$n$を自然数とする．このとき，不等式

${\log }_2(a+b)+{\log }_2(a^2+b^2)+{\log }_2(a^3+b^3)+\cdots +{\log }_2(a^n+b^n)$

$\geqq n\{1+\boxed{}({\log }_{2}a+{\log }_{2}b)\}$

が成立する．空欄に最も適当な数式を記入し，その不等式を証明せよ．$a\text{，}b$がどのようなときに等号が成立するか，その場合も明記せよ．

【４】　$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$における関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|3t(t-2)|dt$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x$の整式で表せ．

(2)　$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．