2003　北海道大学　前期MathJax

【１】　 $xy$平面上の放物線$A:y=x^2\text{，}B:y=-{(x-a)}^2+b$は異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)\text{（}{x}_1>x_2\text{）}$で交わるとする．

(1)　$x_1-x_2=2$が成り立つとき，$b$を$a$で表せ．

(2)　$x_1-x_2=2$を満たしながら$a\text{，}b$が変化するとき，直線$\mathrm{PQ}$の通過する領域を求め，図示せよ．

【２】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$f(x)=a{x}^2+bx+c$とおく．このとき次の$2$つの等式

${\displaystyle {\int }_0^t}{f}^{\prime }(x)(px+q)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^1}{f}^{\prime }(x)(px+q)dx=0$

を満たす実数$p\text{，}q$が存在するための$a\text{，}b\text{，}c$の条件と，そのときの$p\text{，}q$を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

【３】　一辺の長さが$3$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{PABC}$を考える．

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=2$

とする．

(1)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{E}$と辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{F}$が

$\mathrm{AE}=\mathrm{AF}\text{，}\cos \angle \mathrm{EPF}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

を満たすとき，長さ$\mathrm{AE}$を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}$は数直線上を原点$\mathrm{O}$を出発点として，確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$で正の向きに$1$進み，または負の向きに$1$進むとする．$n$回移動したときの$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{X}\left(n\right)$で表す．

(1)　$X(8)=2$となる確率を求めよ．

(2)　$|X(7)|$の期待値を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が$6$回目の移動が終わった時点で，一度も$\mathrm{O}$に戻っていない確率を求めよ．

【１】　$xy$平面上の放物線$A:y=x^2\text{，}B:y=-{(x-a)}^2+b$は異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)\text{（}{x}_1>x_2\text{）}$で交わるとする．

(1)　$x_1-x_2=2$が成り立つとき，$b$を$a$で表せ．

(2)　$x_1-x_2=2$を満たしながら$a\text{，}b$が変化するとき，直線$\mathrm{PQ}$の通過する領域を求め，図示せよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=2$を満たしながら$a\text{，}b$が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点の$y$座標の最小値を求めよ．

【２】　$z$を複素数とし，$i$を虚数単位とする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}}$が実数となる点$z$全体の描く図形$P$を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$z$が上で求めた図形$P$上を動くときに${\displaystyle w=\frac{z+i}{z-i}}$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【３】　曲線$y=x^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$y$軸のまわりに回転してできる形の容器に水を満たす．この容器の底に排水口がある．時刻$t=0$に排水口を開けて排水を開始する．時刻$t$において容器に残っている水の深さを$h\text{，}$体積を$V$とする．$V$の変化率${\displaystyle \frac{dV}{dt}}$は${\displaystyle \frac{dV}{dt}=-\sqrt{h}}$で与えられる．

(1)　水深$h$の変化率${\displaystyle \frac{dh}{dt}}$を$h$を用いて表せ．

(2)　容器内の水を完全に排水するのにかかる時間$T$を求めよ．

【５】　半径$1$の円に内接する正$n$角形が$xy$平面上にある．ひとつの辺$\mathrm{AB}$が$x$軸に含まれている状態から始めて，正$n$角形を図のように$x$軸上をすべらないようにころがし，再び点$\mathrm{A}$が$x$軸に含まれる状態まで続ける．点$\mathrm{A}$が描く軌跡の長さを$L(n)$とする．

(1)　$L(6)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }L(n)$を求めよ．