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2003-10007-0101
2003 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a を a> -1 を満たす定数とし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=- x3+ x2+ 2⁢a⁢ x
と定める.曲線 y= x2- 2⁢x 上にあり x≧ 0 を満たす点全体の作る図形を C1 とする.また,曲線 y= f⁡(x ) を C2 とし,曲線 C2 の原点 (0 ,0) における接線を l とする.
(1) l と C1 との交点のうちで原点と異なるものを P とするとき,点 P の x 座標を a を用いて表せ.また, C1 と C2 との交点のうちで原点と異なるものを Q とするとき,点 Q の x 座標を a を用いて表せ.
(2) C1 と C2 で囲まれた部分の面積を S とし, C1 と l で囲まれた部分の面積を T とする.このとき T= 4⁢S となる a の値を求めよ.
2003-10007-0102
【2】 0<x< 2 のとき,関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) ,h⁡ (x) を
f⁡(x )= ∫0x ⁡ 1 4-t 2 ⁢d t, g⁡(x )=f⁡ (4- x2 ), h⁡(x )=f⁡ (x)+ g⁡(x )
と定める.
(1) t=2⁢ sin⁡θ による置換積分を利用して,関数の値 f⁡ (2 ) を求めよ.
(2) 0<x< 2 において関数 h⁡ (x) は一定の値をとることを示し,その値を求めよ.
(3) 0<x< 2 において f⁡ (x)= g⁡(x ) を満たすのは x= 2 のときに限ることを示せ.
2003-10007-0103
【4】との選択
【3】 整式 P⁡ (x) ,Q⁡ (x) を
P⁡(x )=x5 +6⁢ x4+ 8⁢x 3+5 ⁢x2 +13⁢x +1 ,Q⁡( x)=x 2+4 ⁢x-1
(1) P⁡(x ) を Q⁡ (x) で割った余りを求めよ.
(2) α=9 -4⁢ 5 とおくとき, P⁡(α ) の値を求めよ.
2003-10007-0104
【3】との選択
【4】 すべての正の整数 n に対して an , bn を
an= ∑ k=1 n⁡ (k2 -4⁢k +2)⁢ 2k- 1 ,bn = an2 n-1 -2 (n-3 )2
(1) an+ 1- an を n を用いて表せ.また,数列 {bn } は公比 12 の等比数列であることを示せ.
(2) an を n を用いて表せ.
2003-10007-0105
【6】との選択
【5】 平面上の 3 点 O ,A ,B は同一直線上にないものとする.すべての実数 x に対して, 3 点 P ,Q ,X を
OP→ =(1 -x)2 ⁢OA → ,OQ→ =x2 ⁢OB → ,PX→ =x⁢ PQ→
と定め,直線 OX と直線 AB との交点を Y とする.ベクトル OX → ,OY→ の大きさの比を f⁡ (x) = | OX→ | | OY→ | とおく.
(1) ベクトル OX → を x ,OA→ , OB→ を用いて表せ.
(2) f⁡(x ) の最小値を求めよ.
2003-10007-0106
【5】との選択
【6】 複素数平面上の点 z= x+i⁢ y ( x ,y は実数, i は虚数単位)に対して, w= z-2⁢ iz+ 2⁢i とおく.ただし, z≠- 2⁢i とする.
(1) w≠1 であることを示せ.また, z が実軸 y= 0 上を動くとき, w で表される点は複素数平面上においてどのような図形を描くか.
(2) y>0 のとき, |w| <1 であることを示せ.
2003-10007-0107
【8】との選択
【7】 行列 A= ( ab c0 ) は A 3-k ⁢E=A を満たすとする.ただし, a ,b , c ,k は実数で, E=( 1 0 01 ) とする.
(1) k=a⁢ (1-a 2) であることを示せ.
(2) b⁢c= -1 のとき, A5 の逆行列を b を用いて表せ.
2003-10007-0108
【7】との選択
【8】 a ,b を正の定数とする.平面上の曲線 C は媒介変数 θ を用いて
x=a⁢ (2+sin ⁡θ) ,y=2 ⁢b⁢ cos2⁡ θ 2 (0 ≦θ< 2⁢π )
と表されている.
(1) 曲線 C を x ,y の方程式で表せ.
(2) 曲線 C の接線で原点 (0, 0) を通るものをすべて求めよ.