2003　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a$を$a>-1$を満たす定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=-x^3+x^2+2ax$

と定める．曲線$y=x^2-2x$上にあり$x\geqq 0$を満たす点全体の作る図形を$C_1$とする．また，曲線$y=f(x)$を$C_2$とし，曲線$C_2$の原点$(0,0)$における接線を$l$とする．

(1)　$l$と$C_1$との交点のうちで原点と異なるものを$\mathrm{P}$とするとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．また，$C_1$と$C_2$との交点のうちで原点と異なるものを$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$C_1$と$l$で囲まれた部分の面積を$T$とする．このとき$T=4S$となる$a$の値を求めよ．

【２】　$0<x<2$のとき，関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-t^2}}}dt\text{，}g(x)=f(\sqrt{4-x^2})\text{，}h(x)=f(x)+g(x)$

と定める．

(1)　$t=2\sin \theta$による置換積分を利用して，関数の値$f(\sqrt{2})$を求めよ．

(2)　$0<x<2$において関数$h(x)$は一定の値をとることを示し，その値を求めよ．

(3)　$0<x<2$において$f(x)=g(x)$を満たすのは$x=\sqrt{2}$のときに限ることを示せ．

【３】　整式$P(x)\text{，}Q(x)$を

$P(x)=x^5+6x^4+8x^3+5x^2+13x+1\text{，}Q(x)=x^2+4x-1$

と定める．

(1)　$P(x)$を$Q(x)$で割った余りを求めよ．

(2)　$\alpha =\sqrt{9-4\sqrt{5}}$とおくとき，$P\left(\alpha \right)$の値を求めよ．

【４】　すべての正の整数$n$に対して$a_n\text{，}{b}_n$を

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k^2-4k+2)2^{k-1}\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^{n-1}}}-2{(n-3)}^2$

と定める．

(1)　$a_{n+1}-a_n$を$n$を用いて表せ．また，数列$\{b_n\}$は公比${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等比数列であることを示せ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【５】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．すべての実数$x$に対して，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{X}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={(1-x)}^2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=x^2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PX}}=x\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

と定め，直線$\mathrm{OX}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OY}}$の大きさの比を$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|}}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$x\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．

【６】　複素数平面上の点$z=x+iy$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$w={\displaystyle \frac{z-2i}{z+2i}}$とおく．ただし，$z\ne -2i$とする．

(1)　$w\ne 1$であることを示せ．また，$z$が実軸$y=0$上を動くとき，$w$で表される点は複素数平面上においてどのような図形を描くか．

(2)　$y>0$のとき，$|w|<1$であることを示せ．

【７】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)$は$A^3-kE=A$を満たすとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$は実数で，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$k=a(1-a^2)$であることを示せ．

(2)　$bc=-1$のとき，$A^5$の逆行列を$b$を用いて表せ．

【８】　$a\text{，}b$を正の定数とする．平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて

$x=a(2+\sin \theta )\text{，}y=2b{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

と表されている．

(1)　曲線$C$を$x\text{，}y$の方程式で表せ．

(2)　曲線$C$の接線で原点$(0,0)$を通るものをすべて求めよ．