2003　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$と直線$y=mx$との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

問１　弦$\mathrm{AB}$に平行な弦の中点の軌跡が直線に含まれることを示し，その直線の方程式を求めよ．ここで，弦とは，楕円上の異なる$2$点を結ぶ線分をいう．

問２　問１で求めた直線とこの楕円との交点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．弦$\mathrm{CD}$に平行な弦の中点の軌跡を含む直線の方程式を求めよ．

問３　${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CD}}^2$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$1<x<1+\log 2$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2}}<e^{x-1}-x<{\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2}+\frac{{(x-1)}^3}{3}}$

問２　曲線$y=e^x-ex$上の点$\mathrm{A}(a,e^a-ea)$（ただし，$a>1$）を通り，点$\mathrm{B}(1,0)$で$x$軸に接する円の半径を$r$とする．$r$を$a$の式で表し，$\underset{a\to 1+0}{\lim }r$を求めよ．

【３】　各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し関数$f_n(x)$が

$f_1(x)=\log x\text{，}{f}_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{f_n(t)}{t}}dt\text{（}x>0\text{）}$

で与えられているとき，次の問いに答えよ．

問１　$f_n(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{n!}}$であることを証明せよ．

問２　曲線$y=f_n(x)\text{，}$直線$x=e^a$（ただし，$0<a\leqq 1$），および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とおくとき，$S_n+S_{n+1}$を$a$と$n$を用いて表せ．

問３　問２の結果を用い，次の無限級数の和を$a$を用いて表せ．ただし，$0<a\leqq 1$とする．

${\displaystyle \frac{a}{1!}-\frac{a^2}{2!}+\frac{a^3}{3!}-\frac{a^4}{4!}}+\cdots$

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$z$を未知数とする方程式$z^n={(z-i)}^n$について，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

問１　$\alpha$をこの方程式の解とするとき，$\alpha$の虚数部分は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

問２　この方程式が絶対値$1$の解をもつための，$n$についての条件を求めよ．また，このときの絶対値$1$の解を求めよ．

問３　$2\leqq n\leqq 6$のとき，この方程式の解は複素数平面上の単位円$|z|=1$の外部には存在しないことを示せ．