2003　千葉大学　前期　数学III・数学CMathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$は$1$辺$1$の正三角形である．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$を$1$辺として，それらに垂直な辺をもつ直角二等辺三角形$\mathrm{BA}{\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{CB}{\mathrm{Q}}_1\text{，}\mathrm{AC}{\mathrm{R}}_1$を定める．このときできた全体の図形を$F_1$とする．また，${\mathrm{BP}}_1\text{，}{\mathrm{CQ}}_1\text{，}{\mathrm{AR}}_1$の中点をそれぞれ$S_1\text{，}{\mathrm{T}}_1\text{，}{\mathrm{U}}_1$として$\angle {\mathrm{S}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2=\angle {\mathrm{T}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2=\angle {\mathrm{U}}_1{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2=90°$となる直角二等辺三角形${\mathrm{S}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{T}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{U}}_1{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2$を図のように定める．同様にして，$▵{\mathrm{S}}_2{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}▵{\mathrm{S}}_3{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots \text{，}▵{\mathrm{T}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3\text{，}▵{\mathrm{T}}_3{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4\text{，}\cdots \text{，}▵{\mathrm{U}}_2{\mathrm{R}}_2{\mathrm{R}}_3\text{，}▵{\mathrm{U}}_3{\mathrm{R}}_3{\mathrm{R}}_4\text{，}\cdots$を図のように定める．${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{，}{\mathrm{R}}_n$を定めてできた全体の図形を$F_n$とする．$F_n$のまわりの長さを$l_n\text{，}{F}_n$の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{l}_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．$2$つの曲線

$y=a\sin x\text{，}y=-{\displaystyle \frac{1}{a}}{\sin }^{2}x$

で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．ただし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$について

(1)　$A^4\text{，}{A}^{13}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{4n}}{A}^k$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

【４】　次のプログラムは方程式$x^3-3x-6=0$の近似解を，誤差の限界を$0.0001$として二分法で求めたものである．

• 10 DEF F(X)=X^3-3*X-6
• 20 LET A=2
• 30 LET B=3
• 40 FOR N=1 TO 20
• 50 LET C=(A+B)/2
• 60 IF F(C)<=0 THEN (イ)
• 70 IF (ロ)
• 80 NEXT N
• 90 PRINT "キンジカイ=";C
• 100 END

　このことについて以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^3-3x-6=0$は区間$[2,3]$の間に唯一つの解をもつことを示せ．

(2)　上のプログラムで$60$行は二分法によって新しい区間$[\mathrm{A},\mathrm{B}]$を定める命令文で，$70$行は区間$[\mathrm{A},\mathrm{B}]$の幅が$0.0001$以下かどうかを判定し，もしそうなら繰り返しはこの段階で終了し，結果を出力させる命令文である．(イ)と(ロ)の部分を適切に補って命令文を完成させよ．(イ)は$2$行にわたって書いてもよい．

(3)　上のプログラムは区間の幅が$0.0001$以下になるまで最高で$20$回繰り返しをするように書かれている．スタートの区間を上のように$[{\mathrm{A}}_0,{\mathrm{B}}_0]=[2,3]$とすると実際は$20$回までは行われない．何回で繰り返しが終了するか求めよ．必要なら${\log }_{10}2=0.301$を用いてよい．

(4)　上のプログラムで区間をせばめる手順を$2$回行ったときにできる区間を$[{\mathrm{A}}_2,{\mathrm{B}}_2]$とする．${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2$を求めよ．