2003　東京学芸大学　前期MathJax

2003-10264-0101

2003　東京学芸大学　前期

初等教育-数学選修,情報教育,中等教育-数学専攻,技術専攻

易□　並□　難□

【１】　座標平面上で $2$ 点 $A (a, 0) ， B (0, b)$ を通る直線を $l$ とする．ただし， $a > 0 ， b > 0$ である．直線 $l$ と $x$ 軸および $y$ 軸に接し，中心が第 $1$ 象限にある $2$ つの異なる円を $C_{1} ， C_{2}$ とする．円 $C_{1} ， C_{2}$ の中心の $x$ 座標をそれぞれ $x_{1} ， x_{2}$ とするとき， $| x_{1} - x_{2} |$ を $a$ と $b$ で表せ．

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初等教育-数学選修,情報教育,中等教育-数学専攻,技術専攻

易□　並□　難□

【２】　空間内に $3$ つのベクトル $\vec{a} = (\cos α, \sin α, 0) ， \vec{b} = (\sin α, - \cos α, t) ， \vec{c} = (\sin α, \cos α, 0)$ がある．ただし， $α ， t$ は実数である．ベクトル $\vec{a} ， \vec{b}$ に垂直であり $\vec{0}$ ではないベクトルを $\vec{v}$ とする．ベクトル $\vec{v}$ と $\vec{c}$ のなす角を $θ$ として $\cos θ$ を求めよ．

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初等教育-数学選修,情報教育,障害児教育,中等教育-数学専攻,技術専攻

易□　並□　難□

【３】　数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 3 ， a_{n} < a_{n + 1} （ n = 1 ， 2 ， \dots ）$ をみたしている．各 $n$ に対して，直線 $y = a_{n + 1} x + 1$ と放物線 $y = x^{2} + a_{n} x + 1$ で囲まれた図形の面積が $\frac{1}{6} {(2 n + 3)}^{3}$ となるとき，下の問いに答えよ．

(1)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2)　すべての $n$ に対して， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{4}$ が成り立つことを示せ．

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初等教育-数学選修,情報教育,中等教育-数学専攻,技術専攻

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【４】　 $x > 0$ のとき，関数 $f (x) = \int_{0}^{1} | \log \frac{t + 1}{x} | d t$ の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

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障害児教育

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【１】　座標平面上に放物線 $y = a x^{2} （ a > 0 ）$ と点 $P (0, \frac{2}{a})$ があるとき， $P$ を通り $y$ 軸と異なる直線 $l$ がこの放物線と交わる点を $A ， B$ とする．点 $P$ を通り $l$ に垂直な直線 $m$ がこの放物線と交わる点のうち直線 $l$ に関して原点 $O$ の側にある点を $C$ とする．このとき， $▵ AOB$ の面積と $▵ ACB$ の面積が等しくなるような直線 $l$ の傾きを求めよ．

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障害児教育

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【２】　座標平面上に $2$ 点 $A (4, 10) ， B (8, 4)$ がある．点 $P$ が $3$ 点 $(2, - 1) ， (- 2, 3) ， (4, 3 + 2 \sqrt{3})$ を通る円の周上を動くとき， $▵ PAB$ の重心 $G$ の軌跡を求めよ．

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