Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2003年度一覧へ
大学別一覧へ
東京工業大一覧へ
2003-10267-0101
2003 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】(1) 3 次関数 y= -x3 +a⁢x 2+b ⁢x (a >0 ) のグラフを C とする.原点を通る直線で, C とちょうど 2 点を共有するものを 2 本求めよ.
(2) (1)で求めた直線のうち,傾きの大きい方を l1 , 小さい方を l2 とする. C と l1 が囲む部分の面積を S 1 ,C と l2 が囲む部分の面積を S2 とおく.この二つの面積の比 S 1:S 2 を求めよ.
2003-10267-0102
【2】 2 辺の長さの比が 1: a( a> 1) の長方形がある.この長方形から 1 本の線分にそって切ることにより正方形を取り去る.残った図形が正方形でなければ,再び同じ要領で正方形を取り去り,残りが正方形でない限りこの操作を続ける.例えば, a=3 ,a= 32 の場合はどちらも 2 回でこの操作は終わる.
(1) 3 回でこの操作が終わるような a の値をすべて求めよ.
(2) n 回の操作で終わるような a の値の最大値と最小値を求めよ.
2003-10267-0103
配点70点
【3】 ▵ABC において,辺 AB の中点を M , 辺 AC の中点を N とする.辺 AB を x: 1-x ( 0≦ x<1 ) の比に内分する点 P と,辺 AC を y:1- y (0 ≦y<1 ) の比に内分する点 Q をとり,線分 BQ と線分 CP の交点を R とする.このとき, R が ▵AMN に含まれるような (x, y) 全体を xy 平面に図示し,その面積を求めよ.(ただし,辺 AB , 辺 AC を 0: 1 の比に内分する点とは,ともに点 A のこととする.)
2003-10267-0104
【4】 関数 fn ⁡(x )( n=1 ,2 ,⋯ ) を次の漸化式により定める.
f1⁡ (x)= x2 ,fn +1⁡ (x)= fn⁡ (x)+ x3⁢ fn (2) ⁡(x)
ただし, fn (k) ⁡(x) は fn ⁡(x ) の第 k 次導関数を表す.
(1) fn⁡ (x) は (n+ 1) 次多項式であることを示し, xn+ 1 の係数を求めよ.
(2) fn (1) ⁡(0 ), fn (2) ⁡(0) ,fn (3) ⁡(0 ), fn( 4)⁡ (0) を求めよ.