2003　一橋大学　後期MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．

(1)　$x^2+y<n^2$をみたす正の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$の個数$a_n$を求めよ．

(2)　$\sqrt{x^2+y}$を超えない最大の整数が$n$であるような正の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$の個数$b_n$を求めよ．

【２】　$z$を$1$でない複素数とし，$w={\displaystyle \frac{iz}{z-1}}$とおく．

(1)　$w$が実数であるような$z$の全体を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$a$を正の実数とする．$|w|\leqq a$であるような$z$の全体を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$a>1$とする．直線$y=2-ax$と，直線$y=x$および$y=ax$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

【４】　半径$r$の円は，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq x^2\\ y\geqq -{(x-6)}^2\end{array}$

の表す平面上の領域の中を自由に動かすことができる．$r$の最大値を求めよ．

【５】　$n\geqq 5$とする．$n$チームの間で総当たり戦を行い，勝数の多い順に順位をつける．ただし，引き分けはないものとする．また，勝数が同じである複数のチームの順位は，それより勝数の多いチームが$k-1$チームあるとき，すべて第$k$位であるとする．

(1)　第$1$位のチームがとり得る最小勝数を$n$で表せ．

(2)　第$5$位のチームがとり得る最大勝数を$n$で表せ．

(3)　第$3$位のチームがとり得る最小勝数を$n$で表せ．