2003　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　原点$\mathrm{O}$の$xy$平面上に定点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$と動点$\mathrm{P}(0,t)$がある．

$\alpha =\mathrm{AP}+\mathrm{OP}\text{，}\beta =\mathrm{AP}-\mathrm{OP}$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の値にかかわらず，$\alpha \beta$の値は一定であることを示せ．

(2)　$0<t<1$のとき，$3\mathrm{AP}+2\mathrm{BP}$を$\alpha \text{，}\beta$の式で表せ．

(3)　$t$がすべての実数値をとるとき，$3\mathrm{AP}+2\mathrm{BP}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　${\theta }_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$\tan {\theta }_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{（}-90°<{\theta }_n<90°\text{）}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)\text{，}\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\tan ({\theta }_n-{\theta }_{n+1})=\tan {\theta }_{111}$となる$n$を求めよ．

(3)　$\tan ({\theta }_2+{\theta }_i+{\theta }_j)=1$を満たす組$(i,j)$で$i\leqq j$であるものをすべて求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=\sqrt{3}(a-b)x+a+b$

$g(x)=\sqrt{3}(a+b)x+a+3b$

について，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)g(x)dx$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)\}}^{2}dx\leqq 1$となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(3)　$a\text{，}b$が(2)で求めた条件を満たすように変化するとき，(1)の定積分のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を$0$でない複素数とする．$x$の方程式

(ア)　$x^2+|a|x-|b|=0$

(イ)　$x^2-|a|x-|b|=0$

について，(ア)の正の実数解を$r_1$，(イ)の正の実数解を$r_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r_1\text{，}{r}_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$r_2$と$r_2$の大小を比較せよ．

(3)　複素数$z$が

$z^2+az+b=0$

を満たすとき，$r_1\text{，}{r}_2\text{，}|z|$の大小を比較せよ．必要ならば，任意の複素数$a\text{，}z$について不等式

$|z|-|a|\leqq |z+a|\leqq |z|+|a|$

が成り立つことを用いてもよい．

【１】　次の定積分を計算せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^{16}}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}}$

【１】　次の定積分を計算せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{dx}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}}$

【２】　$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1:y=x^2$

$C_2:y=2x^2-4x+3$

がある．$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1$における$C_1$の接線の傾きと$C_2$上の点${\mathrm{P}}_2$における$C_2$の接線の傾きが一致するとき，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$を通る直線をひく．このようにして得られたすべての直線は定点を通ることを示せ．また，その定点の座標を求めよ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$（$a\text{，}b$は正の定数）があり，点$\mathrm{P}(s,t)$は$C$上を動く．ただし$st\ne 0$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$の座標を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

【４】　複素数$z\text{（}z\ne i\text{）}$に対し，複素数$w$を

$w={\displaystyle \frac{z}{iz+1}}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$z$が複素数平面内の原点を通る直線$l$上を（ただし$l$が点$i$を含む場合にはこの点を除いて）動くとき，$w$は同じ直線$l$上を動く．このような直線$l$を求めよ．

(2)　実数$a$に対し$|z-a|=|a|$であるとき，$|w-a|=|a|$が成り立つことを示せ．

【５】　関数$f(x)$は次の$2$条件(ア)，(イ)を満たしている．

(ア)　$0\leqq x\leqq 1$のとき$f(x)=x$

(イ)　すべての実数$x$に対して$f(x+1)=-f(x)+1$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$のグラフをかけ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^2}{e}^{-x}f(x)dx$の値を求めよ．

(3)　$n$が自然数をとりながら動くときの極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{2n}}{e}^{-x}f(x)dx$

を求めよ．